Obiettivi Formativi

Il corso si propone a fornire nozioni di teoria dei campi con focus sulle applicazioni rilevanti per la meccanica statistica e la materia condensata. Argomenti fondamentali saranno: -integrali funzionali; - rottura spontanea di simmetria; -rinormalizzatione e gruppo di rinormalizzazione.

Learning Goals

The course aims to provide notions of quantum field theory with focus on applications relevant for statistical mechanics and condensed matter system. Fundamental topics will be represented by: • Functional integals; • Spontaneous symmetry breaking; • Renormalization and renormalization group.

Metodi didattici

Lezioni frontali - Esercitazioni

Teaching Methods

Classroom lectures - Practice

Prerequisiti

Conoscenza della meccanica quantistica relativistica e non relativistica

Prerequisites

Knowledge of relativistic and nonrelativistic quantum mechanics

Verifiche dell'apprendimento

Valutazione delle attività svolte durante le esercitazioni - Esame orale

Assessment

Exercitation activity evaluation - Oral test

Programma del Corso

Teorie interagenti. Teoria \lambda \phi^4. Funzioni di correlazione, teorema di Wick, regole e diagrammi di Feynman. Matrice S relativistica e sezione d’urto di scattering relativistica. Rappresentazione spettrale. Formula LSZ. Integrale funzionale. Derivate funzionali e funzionale generatore. Interpretazione statistica del funzionale generatore. Stati coerenti di bosoni e fermioni. Grassman’s variables. Costruzione dell’integrale funzionale da funzione di partizione quantistica. Equazioni di Dyson-Schwinger. Nozione di divergenza in una teoria di campo, grado di divergenza superficiale di una teoria di campo. Rinormalizzazione della teoria lambda \phi^4. Regolarizzazione dimensionale (cenni). Rottura spontanea della simmetria. Esempi in materia condensata: Condensazione Bose-Einstein. Teorema di Goldstone. Azione efficace e potenziale efficace. Azione efficace nel linear sigma model; Superconduttività, Superfluidità. Gruppo di rinormalizzazione (approccio di Wilson). Operatori rilevanti, marginali ed irrilevanti. Nozione di punto fisso. Connessione tra punto fisso e transizioni di fase. Scaling delle quantità termodinamiche in prossimità dei fenomeni critici. Esponenti critici. Equazione di Callan-Symanzik. Dimensione anomala. Funzione beta della teoria lambda phi^4. Punti fissi della funzione beta. Non-linear sigma model.

Course Syllabus

Interacting theories. \lambda \phi^4 theory. Correlation functions, Wick theorem. Feynman rules and diagrams. Relativistic S-matrix and relativistic cross-section. Spectral representation. LSZ reduction formula. Functional Integrals. Functional derivatives and generating functional. Statistical interpretation of the generating functional. Bosonic and fermionic coherent states. Grassman’s variables. Construction of the functional integral from quantum partition function. Dyson-Schwinger equations. Notion of divergence in field theory. Degree of superficial divergence in a free theory. Renormalization of the lambda \phi^4 theory. Dimensional regularization (notions) Spontaneous symmetry breaking. Concrete examples in condense matter system: Bose-Einstein Condensation . Goldstone theorem. Effective action and effective potential. Effective action for the linear sigma model. Renormalization group (Wilson’s approach). Relevant, irrelevant and marginal operators. Effective Lagrangian. Fixed points for the renormalization flow. Connection between fixed points and phase transitions. Scaling behaviour of thermodynamical quantities in vicinity of critical phenomena. Critical exponents. Callan-Symanzik equation. Anomalous dimension. Beta function for the lamda phi^4 theory. Fixed points of the beta function. Non-linear sigma model.