Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle più semplici equazioni differenziali ordinarie e le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. Si insisterà sulla comprensione e sull’assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi. Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali, serie oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche e dovranno sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere anche di tipo applicativo e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti. Dovranno sapere argomentare le scelte effettuate ed essere in grado di individuare le regole appropriate da applicare alla risoluzione di problemi nuovi, analoghi a quelli discussi a lezione. Gli studenti dovranno sapere comunicare in modo efficace, pertinente e dimostrare capacità logico - argomentative e di sintesi. Gli studenti dovranno essere in grado di discutere alcuni temi scientifici costruendo semplici modelli matematici applicati all'ingegneria. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti l'insegnamento anche attraverso l'integrazione delle conoscenze acquisite con appropriate indagini bibliografiche tali da consentire un confronto critico tra le diverse soluzioni possibili. Far acquisire la capacità di interloquire con linguaggio tecnico appropriato alla disciplina. Far acquisire un metodo di studio individuale adeguato a consentire l'approfondimento delle conoscenze e ad affrontare ulteriori tematiche avanzate o settoriali.

Learning Goals

The course aims to provide students with the basic knowledge of differential and integral calculus for the real functions of a real variable, series theory and basic notions on ordinary differential equations and their applications to solving problems based on mathematical models. We will insist on understanding and assimilating the definitions and the main results, rather than on the proofs (some of which, moreover, will be carried out in detail). Wide space will be given to examples and exercises. At the end of the course, students should be able to perform, correctly and without hesitation, elementary calculations concerning limits, derivatives, integrals, series, possess the main theoretical notions and will need to know how to apply the concepts learned to the resolution of various types of problems, including applications, and to identify the most appropriate approach to solving the proposed problems. They will have to know how to argue the choices made and be able to identify the appropriate rules to apply to the resolution of new problems, similar to those discussed in class. Students must be able to communicate efficiently and to proof logical - argumentative and summary skills. Students will be able to discuss some scientific topics by building simple mathematical models applied to engineering. To acquire the ability to independently identify the tools and data sources needed for the analysis, understanding and resolution of problems related the course, also through the integration of the acquired knowledge with appropriate bibliographic investigations such as to allow a critical comparison between the different possible solutions. To acquire the ability to speak with technical language appropriate to the discipline. To acquire an adequate individual study-method to allow the deepening of knowledge and to face further advanced or sectoral topics.

Metodi didattici

Il corso si svolge attraverso lezioni frontali (36 ore) ed esercitazioni svolte dal docente (36 ore) con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria. Tutte le attività sono svolte con supporto di slide delle lezioni

Teaching Methods

The course takes place through lectures in the classroom (36 hours) and exercises given by the teacher (36 hours) with application with applications to typical engineering problems. All activities are carried out with the support of lecture slides.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di base di matematica elementare, fornita dalle scuole medie superiori.

Prerequisites

Basic topics of elementary mathematics, provided by high schools.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta lo studente deve risolvere alcuni esercizi, atti a dimostrare di aver acquisito e saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 16 punti su 30. Il superamento della prova scritta consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sulla prova scritta e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso, l'acquisizione del rigore metodologico e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che in ogni prova di verifica in itinere conseguono un punteggio pari o maggiore a 16/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Assessment

The exam consists of a written test and an oral test. In the written test the student must solve some exercises, with the aim of verifying that they have acquired and know how to use the tools provided during the course. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The written test is passed if the average is equal to 16/30. Passing the written test allows you to take the oral exam, which consists of a discussion on the written test and questions that tend to ascertain the theoretical knowledge of the course contents, the acquisition of methodological rigor and the ability to reason about topics related to the course. During the course, there will be two ongoing tests related to the topics covered during the course and are held respectively in the periods of November and January on dates that are agreed during the lessons with the students. Each test is assigned a score out of thirty. Students who achieve a score equal to or greater than 16/30 in each ongoing tests will be able to take the oral exam in the sessions established by the calendar. Students who do not participate in the ongoing tests can take the written test during the sessions scheduled for in the exam calendar of the Engineering Department. The oral exam focuses on the topics covered during the course and the evaluation takes into account the knowledge acquired, the ability to apply the concepts studied and exposure with scientific language. The exam is considered passed if the average score between the written and oral part is equal to or greater than 18/30.

Programma del Corso

INSIEME DEI REALI -Insiemi numerici: Il principio di induzione – Coefficiente binomiale - Numeri reali - Ordinamento e completezza. INSIEME DEI COMPLESSI -Potenze con esponente reale, logaritmi -numeri complessi-operazioni fra numeri complessi-equazioni numeri complessi. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: dominio e codominio di una funzione-funzione iniettiva, suriettiva e biettiva-funzioni composte-funzione inversa-topologia della retta reali-funzioni monotone -funzioni limitate-grafico di funzioni elementari. Limiti di funzione -gerarchia degli infiniti-confronto fra infiniti-principio di sostituzione degli infiniti -algebra dei limiti - funzioni continue-algebra della continuità- Continuità delle funzioni composte-punti di discontinuità-teorema dell’esistenza degli zeri -teorema di Weierstrass-teorema dei valori intermedi-teorema su funzioni inverse CALCOLO DIFFERENZIALE: derivata -retta tangente -algebra delle derivate -derivabilità e continuità- punti di non derivabilità-derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse -massimi e minimi relativi -teorema di Fermat -teorema di Rolle -teorema di Lagrange-conseguenze al teorema di Lagrange -studio di funzione-teorema di Cauchy -teorema di De l’Hopital -funzioni concave e convesse-derivate successive – Formula di Taylor e sue applicazioni. CALCOLO INTEGRALE: primitiva di una funzione- integrale indefinito- integrali elementari-tecniche di integrazione -integrazione di funzioni composte-integrazione per parti-integrale secondo Riemann- proprietà dell’integrale -teorema della media-teorema fondamentale del calcolo integrale - integrazione impropria. SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE: successioni monotone-limiti di successione -algebra dei limiti-teorema del confronto – proprietà delle serie -serie geometrica - serie di Mengoli, serie armonica - Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice - serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.

Course Syllabus

REAL NUMBERS: sets of reals numbers - Elements of combinatorial calculation. COMPLEX NUMBERS: - Power and roots of complex numbers - Complex equations REAL FUNCTIONS OF ONE REAL: Elementary functions and their graphs - Limit of functions - Theorems about limits - Operations with limits - - Fundamental limits - Continuity and discontinuity - Operations with continuous functions and related theorems – DIFFERENTIAL CALCULUS: definition of derivative and its geometrical meaning - Differentiation of sums, products and quotients - Theorems and applications of differential calculus for the study of a function - Rolle's, Cauchy's , Lagrange's theorems and its consequences - Convexity and concavity - Taylor's formula. INTEGRAL CALCULUS: Indefinite integrals - Integration by parts and by substitution Integration rational functions - Integration of some important functions - Riemann integrability - Integrability of the continuous functions - Properties of integrals - Mean-value theorem - Integral function - Fundamental theorem of of the integral calculus - Integrals of discontinuous functions - Integrals of unbounded functions Testing the convergence of improper integrals. NUMERICAL SEQUENCES AND SERIES: Monotone sequences - Some important limits - Infinite series - Convergence - Necessary condition for the convergence - Numerical Series.