Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è fornire nozioni di natura teorica e applicativa sul calcolo delle probabilità, le variabili aleatorie, la statistica descrittiva e la statistica inferenziale. Verranno illustrate varie applicazioni.

Learning Goals

The aim of the course is to provide notions, both theoretical and applied, about probability, random variables, descriptive and inferential statistics. Several applications will be presented.

Metodi didattici

Il corso si articola in lezioni frontali di natura teorica ed esercitazioni sulle applicazioni della teoria con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course consists of lectures and exercitations on the applications of the theory, with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and critical thinking.

Prerequisiti

Calcolo combitatorio, algebra lineare e analisi matematica.

Prerequisites

Combinatorics, linear algebra and calculus.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame è orale ed è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso. Inizia con lo svolgimento di un esercizio, e continua con domande di natura teorica. L'esame è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi: livello di conoscenza degli argomenti teorici e capacità di impostare e risolvere problemi. Il voto finale è espresso in trentesimi.

Assessment

The exam is oral and focuses on the topics covered in the course. It starts with a proposed exercise, and continues with theoretical questions. The exam is devoted to verify the level of the achievement of the educational goals: knowledge of the theoretical contents and ability to set and solve problems. The final grade is expressed out of thirty.

Programma del Corso

Fenomeni deterministici e fenomeni aleatori. Impostazione classica, frequentista e soggettiva della probabilità. Impostazione assiomatica di Kolmogorov. Introduzione alla teoria astratta della misura. Spazi campionari discreti e continui. Eventi elementari. Eventi. Probabilità. Spazio di probabilità. Proprietà della probabilità. Principio di inclusione-esclusione di Poincaré. Costruzione di uno spazio di probabilità finito. Spazi equiprobabili. Campionamento da urne con e senza reimmissione. Costruzione di uno spazio di probabilità numerabile. Esempi notevoli. Costruzione di uno spazio di probabilità continuo. Probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Applicazione ai test clinici. Indipendenza di eventi. Prove di Bernoulli. Variabili aleatorie. Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria e sue proprietà. Variabili aleatorie discrete. Densità discreta di una variabile aleatoria discreta. Variabili aleatorie assolutamente continue. Densità di una variabile aleatoria assolutamente continua. Alcune densità discrete di probabilità notevoli: uniforme discreta, binomiale, bernoulliana, Poisson, geometrica, ipergeometrica. Alcune densità continue di probabilità notevoli: uniforme continua, esponenziale, gaussiana. Variabili aleatorie condizionate. Funzioni di variabile aleatoria. Valore atteso o media di una variabile aleatoria. Valore atteso di funzioni di variabile aleatoria. Varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria. Calcolo della media e della varianza di tutti gli esempi notevoli di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebychev. Standardizzazione di una variabile aleatoria. Approssimazione gaussiana della funzione di ripartizione binomiale. Variabili aleatorie indipendenti. Vettori aleatori. Funzione di ripartizione congiunta. Funzione di ripartizione marginale. Vettori aleatori discreti. Vettori aleatori assolutamente continui. Esempi notevoli di vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Funzioni di vettori aleatori discreti. Funzioni di vettori aleatori assolutamente continui. Valore atteso di funzioni di vettori aleatori. Covarianza e coefficiente di correlazione. Matrice di covarianza. Vettori gaussiani. Legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Statistica descrittiva. Distribuzioni di frequenza. Indici di posizione e di dispersione. Forma di una distribuzione. Correlazione fra variabili. Metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare. Regressione polinomiale. Popolazioni e campioni. Test di ipotesi. Stima dei parametri.

Course Syllabus

Deterministic and random phenomena. Classical, frequentist and subjective approaches to probability. Kolmogorov axiomatic approach. Introduction to abstract theory of measure. Discrete and continuous sample spaces. Elementary events. Events. Probability spaces. Probability properties. Poincarés inclusion-exclusion principle. Finite probability spaces. Equiprobable spaces. Drowing balls from urns with and without replacement. Countable probability spaces. Examples. Continuous probability spaces. Conditional probability. Compound probability formula. Total probability theorem. Bayes’ theorem. Application to clinical tests. Independet of events. Bernoulli trials. Random variables. Distribution function of a random variable and its properties. Discrete random variables. Discrete density of a discrete random variable. Absolutely continuous random variables. Density of an absolutely continuous random variable. Examples of discrete densities: uniform discrete, binomial, bernoullian, Poisson, geometric, hypergeometric. Examples of continuous densities: uniform continuous, exponential, gaussian. Conditional random variables. Functions of random variables. Mean of a random variable. Mean of functions of random variable. Variance and standard deviation of a random variable. Calculation of the mean and variance of the examples of discrete and absolutely continuous random variables. Markov's inequality. Chebychev's inequality. Standardization of a random variable. Gaussian approximation of binomial distribution. Independent random variables. Random vectors. Joint distribution function. Marginal distribution function. Discrete random vectors. Absolutely continuous random vectors. Examples of discrete and absolutely continuous random vectors. Functions of discrete random vectors. Functions of absolutely continuous random vectors. Mean of functions of random vectors. Covariance and correlation coefficient. Covariance matrix. Gaussian vectors random variables. Weak law of large numbers. Strong law of large numbers. Central limit theorem. Descriptive statistics. Frequency distributions. Position and dispersion indices. Shape of a distribution. Correlation between variables. Least square method. Linear regression. Polynomial regression. Hypothesis test. Parameter estimate.