Obiettivi Formativi

Conoscenza del formalismo lagrangiano della meccanica, del formalismo hamiltoniano e delle loro applicazioni.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza. La presentazione di casi di studio sarà svolta mediante l'ausilio di di programmi di calcolo scientifico.

Prerequisiti

Contenuti di Analisi Matematica su funzioni di una e più variabili, algebra lineare e meccanica newtoniana.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame, orale, è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi: livello di conoscenza degli argomenti teorici e capacità di impostare e risolvere problemi.

Programma del Corso

FORMULAZIONE LAGRANGIANA DELLA MECCANICA. Relazione simbolica ed equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Invarianza delle equazioni di Lagrange. Integrali primi. Coordinate ignorabili e Lagrangiana ridotta. Potenziali generalizzati dipendenti dalla velocità. Applicazioni: pendolo sferico, bipendolo, trottola pesante, problema degli N corpi. FORMULAZIONE HAMILTONIANA DELLA MECCANICA Trasformazioni di Legendre. Funzione di Hamilton. Equazioni di Hamilton. Integrali primi. Teorema di Liouville. Teorema della ricorrenza di Poincaré. PRINCIPI VARIAZIONALI Principio di minima azione. Il problema variazionale. Il problema della brachistocrona. Principio variazionale di Hamilton: forma Lagrangiana e forma Hamiltoniana. FORMALISMO CANONICO Struttura simplettica dello spazio delle fasi. Matrici simplettiche e hamiltoniane. Campi vettoriali hamiltoniani. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Condizione di Lie. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche infinitesime e vicine all'identità. Flusso hamiltoniano. Simmetrie e integrali primi del moto. Teorema di Noether. Esempi e applicazioni. TEORIA DI HAMILTON-JACOBI L'equazione di Hamilton-Jacobi. Tecnica di separazione delle variabili. Sistemi integrabili con un grado di libertà: variabili di azione-angolo. Integrabilità per quadrature.Sistemi integrabili con più gradi di libertà: variabili di azione-angolo. Moti quasi-periodici. Integrabilità: teorema di Liouville. Variabili di azione-angolo per il problema di Keplero. SISTEMI HAMILTONIANI AL CALCOLATORE Casi di studio di sistemi hamiltoniani.