Obiettivi Formativi

Conoscenza del formalismo lagrangiano della meccanica, del formalismo hamiltoniano e delle loro applicazioni.

Learning Goals

Knowledge of the lagrangian approach to mechanics, of the hamiltonian formalism and of their applications.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza. La presentazione di casi di studio sarà svolta mediante l'ausilio di di programmi di calcolo scientifico.

Teaching Methods

Face-to-face lectures and exercitations. The presentation of case studies will be accompanied by means of scientific calculus softwares.

Prerequisiti

Contenuti di Analisi Matematica su funzioni di una e più variabili, algebra lineare e meccanica newtoniana.

Prerequisites

Contents of the courses of Calculus in one and more variables, linear algebra and newtonian mechanics

Verifiche dell'apprendimento

L'esame, orale, è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi: livello di conoscenza degli argomenti teorici e capacità di impostare e risolvere problemi.

Assessment

The exam is oral and is devoted to verify the level of the achievement of the educational goals: knowledge of the theoretical contents and ability to set and solve problems.

Programma del Corso

FORMULAZIONE LAGRANGIANA DELLA MECCANICA. Relazione simbolica ed equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Invarianza delle equazioni di Lagrange. Integrali primi. Coordinate ignorabili e Lagrangiana ridotta. Potenziali generalizzati dipendenti dalla velocità. Applicazioni: pendolo sferico, bipendolo, trottola pesante, problema degli N corpi. FORMULAZIONE HAMILTONIANA DELLA MECCANICA Trasformazioni di Legendre. Funzione di Hamilton. Equazioni di Hamilton. Integrali primi. Teorema di Liouville. Teorema della ricorrenza di Poincaré. PRINCIPI VARIAZIONALI Principio di minima azione. Il problema variazionale. Il problema della brachistocrona. Principio variazionale di Hamilton: forma Lagrangiana e forma Hamiltoniana. FORMALISMO CANONICO Struttura simplettica dello spazio delle fasi. Matrici simplettiche e hamiltoniane. Campi vettoriali hamiltoniani. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Condizione di Lie. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche infinitesime e vicine all'identità. Flusso hamiltoniano. Simmetrie e integrali primi del moto. Teorema di Noether. Esempi e applicazioni. TEORIA DI HAMILTON-JACOBI L'equazione di Hamilton-Jacobi. Tecnica di separazione delle variabili. Sistemi integrabili con un grado di libertà: variabili di azione-angolo. Integrabilità per quadrature.Sistemi integrabili con più gradi di libertà: variabili di azione-angolo. Moti quasi-periodici. Integrabilità: teorema di Liouville. Variabili di azione-angolo per il problema di Keplero. SISTEMI HAMILTONIANI AL CALCOLATORE Casi di studio di sistemi hamiltoniani.

Course Syllabus

LAGRANGIAN FORMULATION OF MECHANICS. Symbolic relation and symbolic equation of dynamics. Lagrange equations. Invariance of Lagrange's equations. First integrals. Ignorable coordinates and reduced Lagrangian. Generalized velocity dependent potentials. Applications: spherical pendulum, double pendulum, heavy spinning top, N bodies problem. HAMILTONIAN FORMULATION OF MECHANICS Legendre transformations. Hamilton function. Hamilton equations. First integrals. Liouville theorem. Poincaré recurrence theorem. VARIATIONAL PRINCIPLES Least action principle.Variational problem. The brachistochrone problem. Hamilton's variational principle: Lagrangian and Hamiltonian forms. CANONICAL FORMALISM Symplectic structure of the phase space. Symplectic and Hamiltonian matrices. Hamiltonian vector fields. Canonical and completely canonical transformations. Integral invariant of Poincaré-Cartan. Lie condition. Generating functions of canonical transformations. Poisson brackets. Infinitesimal canonical transformations close to identity. Hamiltonian flux. Symmetries and first integrals. Noether theorem. Examples and applications. HAMILTON-JACOBI THEORY The Hamilton-Jacobi equation. Variable separation technique. Integrable systems with one degree of freedom: action-angle variables. Integrability by quadrature. Integrable systems with many degrees of freedom: action-angle variables. Quasi periodic motions. Integrability: Liouville theorem. Angle-action variables for the Kepler problem. HAMILTONIAN SYSTEMS WITH COMPUTER PROGRAMS Case studies of Hamiltonian systems.