Obiettivi Formativi

Conoscenza critica dei contenuti e delle metodologie proprie dell’algebra moderna, acquisizione degli elementi del "linguaggio matematico" (teoria degli insiemi,insiemi numerici, nozioni di divisibilità, congruenze) e degli strumenti di base. (nozioni di operazione, strutture algebriche di gruppo, anello, campo).

Learning Goals

Knowledge of the contents and methodologies of modern algebra, acquisition of the elements of "mathematical language" (set theory, numeric sets,notions of divisibility, congruences) and of the basic tools.

Metodi didattici

Il corso, al fine del raggiungimento degli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali ed  esercitazioni in aula, svolte o guidate dal docente. Potranno tenersi delle esercitazioni aggiuntive a cura del docente o del tutor designato​​​​​​​. ​​​​​​​Agli studenti sono fornite  le Note del corso ed un eserciziario contenente prove d’esame svolte.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures and exercises in the classroom,  given by the teacher or guided with teacher support. Additional classroom exercises may be held by the teacher or the designated tutor ​​​​​​​ Students are provided with the Notes of the course and a workbook containing solved exam tests. ​​​​​​​

Prerequisiti

Conoscenze matematiche solitamente acquisite nei cinque anni di una qualsiasi scuola secondaria

Prerequisites

Mathematical knowledge which is usually acquired during the five years of any secondary school

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consisterà in una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta, della durata di due ore, verifica la capacità di risolvere esercizi correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica la capacità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. Durante il corso saranno svolte due o tre prove in itinere che, se superate, sostituiranno la prova scritta finale.

Assessment

The final exam will consist of a written test and an oral test. The written test, lasting two hours, verifies the ability to solve exercises related to the topics of the course. The oral exam verifies the ability to clearly and rigorously explain some of the course contents. Two or three ongoing tests will be held during the course which, if passed, will replace the final written test. ​​​​​​​

Programma del Corso

Teoria degli insiemi: Insiemi. Operazioni sugli insiemi. Corrispondenze. Applicazioni. Relazione di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di ordine. Insiemi ordinati. Prodotto cartesiano diuna famiglia di insiemi. Assioma della scelta. Potenza di un insieme. Numeri cardinali. Insiemi infiniti. Potenza del numerabile e del continuo. Potenza degli insiemi {0, 1}^N, N^N. Numeri naturali, interi, razionali, complessi. Strutture algebriche: operazioni interne ed esterne. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Anelli. Corpi. Campi. Assiomi di Peano e Numeri naturali. Assioma del buon ordinamento. Principio di induzione. Anello Z degli interi relativi. Campo dei numeri razionali e campo dei numeri complessi. Corpo dei quaternioni. Divisione e divisibilità in Z. Esistenza del M.C.D. e m.c.m . Algoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D. Identità di Bézout. Elementi primi. Elementi irriducibili. Congruenze in Z. I teoremi di Fermat ed Eulero-Fermat. L’anello delle classi resto modulo un intero n>1. Elementi invertibili e zero divisori in Z_n. Congruenze lineari in una indeterminata: criterio di risolubilità, ricerca di soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Teoria dei gruppi: Gruppi. Esempi di gruppi. Gruppi classici. Sottogruppi. Equivalenze in ungruppo. Classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Operazioni tra sottogruppi. Gruppo quoziente. Centro di un gruppo. Elementi coniugati. Teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici. Periodo di un elemento. Gruppo simmetrico su n elementi. Gruppi di trasformazioni. Gruppi diedrali. Endomorfismi, automorfismi, automorfismi interni. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Anello degli automorfismi di un gruppo abeliano. Automorfo di un gruppo. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Coniugio tra elementi e tra sottogruppi. Equazione delle classi. Centro di un gruppo. Laterali doppi e teorema di Frobenius. Teoremi di Sylow ed applicazioni. Gruppi abeliani finitamente generati e teorema di struttura. Gruppi abeliani liberi. Teoria degli anelli: Anelli. Sottoanelli. Corpi. Ideali di un anello. Equivalenze in un anello. Anello quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi. Ideali massimali.Teorema di Krull. L'anello Z ed i suoi quozienti. Anelli dei polinomi: Polinomi su un anello. Algoritmo della divisione per polinomi su un campo e su un anello. Polinomi a coefficienti su un campo. Esistenza ed unicità del M.C.D. monico. Identità di Bézout. Radici e fattorizzazioni di polinomi in C[X], R[X] e Q[X].

Course Syllabus

Set theory: Sets and operations - Mappings. Order and Equivalence Relations - Quotient sets. Ordered sets. Axiom of choice. Cardinality Cardinal numbers. Finite and infinite sets. Countable sets  Algebraic structures: Binary operations and their properties. Semigroups. Monoids. Groups. Rings. Fields. The integers: Congruences, Greatest common divisor, Fermat's and Eulero-Fermat's Theorems. Group theory: Subgroups. Normal subgroups. Quotient groups. Isomorphism theorems for groups The symmetric group. Dihedral groups. Cyclic groups. Direct product of groups. Sylow's theorems. Free abelian groups. Finitely generated abelian groups. Ring theory: Rings, Ideals and homomorphisms. Quotient rings. Isomorphism theorems for rings. Integral domains. Prime and maximal ideals. Polynomials. Polynomials over a ring and over a field. Factoring polynomials in in Q[X], R[X], C[X].​​​​​​​