Obiettivi Formativi

Conoscenza dei principali argomenti di geometria proiettiva delle curve algebriche e introduzione alla geometria algebrica. Conoscenze delle forme bilineari e delle forme quadratiche, degli spazi affini, euclidei e proiettivi.

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria degli insiemi, algebra, analisi matematica. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Analisi I.

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A ------------------------------------------------------------ Spazi proiettivi. Richiami su spazi euclidei e affini, spazio proiettivo numerico P^n, coordinate omogenee di punti, riferimenti proiettivi, sottospazi proiettivi e operazioni con essi, formula di Grassmann proiettiva, equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi, ipersuperfici proiettive. Curve algebriche piane affini e proiettive. Ordine e supporto di una curva, curve irriducibili, ridotte e spezzate, punti semplici e punti singolari, molteplicità di un punto, intersezioni retta-curva, molteplicità di intersezione, rette tangenti a una curva in un punto multiplo, studio della tangenza nell’origine, piano proiettivo e sue modellizzazioni, punti e rette improprie, curve algebriche piane proiettive, chiusura proiettiva e proiezione affine, deomogeneizzazione e omogeneizzazione di curve, curve lisce e singolari, punti singolari e loro caratterizzazione, lemma di Eulero, tangenze, asintoti, flessi e curva hessiana. Proiettività, lemma dei quattro punti, mappa proiezione, risultante di due polinomi, teorema di Bézout affine (forma debole) e proiettivo (forma forte) e principali conseguenze, teorema dei 9 punti associati, struttura di gruppo abeliano per una cubica liscia piana proiettiva, isomorfismo di gruppi a punti fissi distinti, applicazioni ai flessi. Studio di una curva algebrica. Lemma di Study, componenti di una curva algebrica, finitezza dei punti singolari di curve ridotte, intersezioni di una curva con gli assi e la retta impropria, molteplicità e tangenti nell’origine e negli eventuali punti impropri fondamentali, regioni del piano reale in cui giace la curva, punti doppi e tangenti principali, andamento locale di una curva nell’intorno di un suo punto semplice e doppio rispetto alle tangenti in esso, nodi, flecnodi e biflecnodi, punti doppi di natura cuspidale e loro classificazione, cuspidi, tacnodi, oscnodi, curve osculatrici, cenni sui punti tripli e n-upli, stima del numero massimo di punti singolari di una curva irriducibile ridotta, funzioni razionali e curve razionali, genere di una curva, metodi per ricavare equazioni parametriche di una curva razionale (trigonometrico, delle curve aggiunte, inversione per raggi vettori reciproci), principali informazioni da ricavare per la rappresentazione di una curva algebrica, studio di una curva algebrica razionale in forma parametrica, traccia del grafico di curve algebriche piane classiche.  Elementi di geometria algebrica. Divisori su curve lisce irriducibili, divisori tagliati, equivalenza lineare di divisori, teorema di Max Noether e relativo corollario, teorema del resto, sistemi lineari di curve e loro dimensione, serie lineari tagliate e non tagliate su una curva liscia, grado e dimensione di una serie lineare, serie lineari complete, teorema di Riemann, serie canoniche, divisori speciali, indice di specialità di una serie lineare, teorema di Riemann-Roch e sue conseguenze, serie lineari residue, punti base e divisori base, applicazioni ed esercizi. ------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B ------------------------------------------------------------ Applicazioni bilineari. Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche. Forma polare di una forma quadratica. Relazione di coniugio. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme quadratiche degeneri e loro caratterizzazione. Teorema della base coniugata. Forme bilineari e forme quadratiche reali. Disuguaglianza di Schwarz. Disuguaglianza di Minkowski. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica reale col metodo degli autovalori e col metodo di Gauss-Lagrange. Spazi vettoriali Euclidei. Prodotti scalari. Norma di un vettore. Basi ortonormali. Teorema di Carnot. Teorema di Pitagora. Teorema della proiezione. Spazio vettoriale Euclideo di dimensione tre. Prodotto vettoriale. Isometrie e similitudini di uno spazio vettoriale Euclideo. Spazi affini. Definizioni e prime proprietà. Varietà lineari affini. Giacitura e dimensione di una varietà lineare affine. Punti, rette, piani e iperpiani di uno spazio affine. Sottovarietà. Intersezione e congiunzione di varietà lineari affini. Parallelismo di varietà lineari affini. Riferimenti affini e formule del cambiamento. Equazione vettoriale, equazioni scalari ed equazioni cartesiane di una varietà lineare affine. Spazi affini euclidei. Angolo di due rette. Parametri e coseni direttori di una retta. Equazione vettoriale di un iperpiano. Distanza di un punto da un iperpiano. Equazione normale di un iperpiano. Angolo di due iperpiani. Parallelismo e ortogonalità di due iperpiani. Angolo fra una retta e un iperpiano. Parallelismo e ortogonalità di una retta con un iperpiano. Varietà lineari affini ortogonali. Applicazioni affini. Affinità. Il gruppo delle affinità. Il sottogruppo centroaffine. Traslazioni. Affinità di uno spazio affine Euclideo: movimenti Euclidei, congruenze, rotazioni, similitudini, omotetie, simmetrie centrali, simmetrie rispetto a una varietà lineare affine. Equazioni di una applicazione affine fra spazi affini di dimensioni finite. Equazioni di una affinità. Equazioni di una congruenza nel piano affine Euclideo. Richiami su spazi proiettivi. Varietà lineari proiettive. Intersezione e somma di varietà lineari proiettive. Applicazioni proiettive. Omografie o proiettività. Centro di una omografia. Varietà trasformata tramite omografia. Equazioni di una omografia. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Involuzioni di uno spazio proiettivo. Varietà lineari proiettive unite per omografie. Punti uniti di una omografia del piano proiettivo. Legge di Dedekind. Proiezione di una varietà lineare proiettiva su un'altra varietà. Birapporto di quattro punti di una retta proiettiva. Quaterne armoniche e loro caratterizzazione mediante il birapporto. Omografie di rette proiettive. Punti limite di una omografia di rette proiettive. Involuzione di una retta proiettiva e sue caratterizzazioni. Omografie iperboliche, paraboliche e loro equazioni canoniche. Omografie ellittiche. Omografie come composizione di involuzioni.