Obiettivi Formativi

Il corso si prefigge di far acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e di maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Learning Goals

This course enables students to gain skill in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment and to mature critical analysis of the obtained results.

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni forntali integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio al fine di permettere la necessaria implementazione e sperimentazione di tutti gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso e di stimolare ed acquisire un'analisi critica dei risultati ottenuti. Si prevede di utilizzare presentazioni in beamer a supporto dell'attività didattica.

Teaching Methods

The course provides lectures and practical exercises in the laboratory in order to allow the necessary implementation and testing of all the algorithms and numerical methods studied during the course and develop and stimulate critical analysis of the obtained results.

Prerequisiti

Tutte le conoscenze fornite dai corsi di Analisi Matematica, Geometria I, Laboratorio di Analisi Numerica e Fondamenti di Informatica.

Prerequisites

Calculus, Geometry I, Foundations of Computer Science and Numerical Analysis Laboratory.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale sarà diviso in due parti: una prova in laboratorio e l'esame orale. Lo scopo della prova in laboratorio è quello di verificare l'abilità dello studente nell'implemetare i codici per la risoluzione di un assegnato problema e la sua capacità di analisi critica dei risultati. Lo scopo della prova orale è quello di verificare le conoscenze acquisite ed il grado di preparazione dello studente riguardo agli argometi teorici trattati durante le lezioni.​​​​​​​

Assessment

The final exam will be divided into two parts: a laboratory test and an oral test. The purpose of the laboratory test is to verify the student's ability to implement the codes for solving an assigned problem and the capacity to develop a critical analysis of the obtained results. The purpose of the oral exam is to verify the knowledge acquired and the degree of preparation of the student on the theoretical topics covered during the lessons.

Programma del Corso

Algebra lineare numerica: Richiami di albegra lineare: definizioni e Teoremi - Norme vettoriali e matriciali. (a) Metodi diretti per i sistemi lineari: Sistemi lineari - Teorema di Rouche-Capelli - Indice di condizionamento di una matrice - Risoluzione di sistemi lineari con matrici diagonali e triangolari - Costo computazionale - Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari - Metodo di eliminazione di Gauss - Complessità computazionale e stabilità dell’algoritmo - Fattorizzazione di una matrice nel prodotto di due matrici - Matrici elementari. Matrici elementari di Gauss e fattorizzazione - Matrici elementari di Gauss- Jordan - Metodo di Gauss-Jordan - Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan - Complessità computazionale e stabilità dell’algoritmo - Fattorizzazione LU dimatrici a banda - Risoluzione di un sistema con matrice tridiagonale: algoritmo di Thomas - Matrici definite positive - Fattorizzazione A = LLH - Algoritmo di Cholesky - Complessità computazionale e stabilità dell’algoritmo - Matrici elementari di Householder - Fattorizzazione di Householder A = QR - Complessità computazionale e stabilità dell’algoritmo - Risoluzione di sistemi lineari con il metodo QR - Risoluzione di sistemi lineari sovradeterminati. Metodo dei minimi quadrati. (b) Metodi iterativi per i sistemi lineari: Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari - Velocità di convergenza per i metodi iterativi - Condizioni di convergenza - Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo - Metodo numerico di Jacobi - Metodo numerico di Gauss- Seidel - Metodi di rilassamento. 2. Interpolazione e approssimazione di dati e di funzioni: Formulazione del problema - Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange - Polinomio di interpolazione: formula di Newton - Differenze divise - Complessità computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale - Stima dell’errore nell’interpolazione polinomiale - Il fenomeno di Runge - Interpolazione lineare a tratti - Polinomio interpolatore di Hermite (cenni) - Funzioni Spline - Funzioni b-spline - Interpolazione con spline lineari e cubiche - Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. 3. Integrazione numerica: Formule di quadratura di Newton-Cotes - Errore nelle formule di quadratura e grado di precisione - Formule di quadratura composite- Formule di quadratura gaussiane (cenni). 4. Equazioni alle derivate ordinarie: Il problema di Cauchy - Metodi numerici ad un passo - Errore locale di troncamento - Proprietà di Convergenza, Consistenza e Zero-Stabilità.

Course Syllabus

DIRECT METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. ITERATIVE METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. INTERPOLATION AND APPROXIMATION OF EXPERIMENTAL DATA. NUMERICAL INTEGRATION. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS.