Obiettivi Formativi

Conoscenza degli elementi di analisi funzionale e di teoria della misura con particolare riferimento alla (pre)misura di Peano-Jordan e alla misura di Lebesgue.

Learning Goals

Knowledge of the elements of functional analysis and measure theory with particular reference to the Peano-Jordan pre-measure and the Lebesgue measure.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Saranno previste domande in aula per accertare la comprensione degli argomenti, verranno lasciati problemi di adeguata complessità da svolgere a casa con relative analisi e discussioni durante le lezioni successive.

Teaching Methods

Lectures and tutorials. Questions will be asked to the students in order to test the understanding of the topics, adequate problems will be left as homework and the discussion of them will take place during subsequent lessons.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di Analisi Matematica I e II e degli elementi di geometria lineare.

Prerequisites

Mastery of the topics of Mathematical Analysis I and II and of the elements of linear geometry

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale sugli argomenti trattati durante il corso. La valutazione terrà conto del grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio e la capacità di esporre gli argomenti trattati. Si cercherà di testare anche la capacità di ragionamento su semplici questioni teoriche per valutare il grado di assimilazione degli argomenti.

Assessment

Oral examination on the topics treated during the course. The final rating will take into account the level of preparation, the language skills and the ability to present the topics. We will also try to test the reasoning skills on simple theoretocal questions to evaluate the level of assimilation of the arguments.

Programma del Corso

-La misura secondo Peano-Jordan: costruzione e proprietà.
 -La misura secondo Lebesgue: costruzione e proprietà.
 -Elementi di topologia: spazi metrici, spazi metrici completi, spazi metrici compatti, spazi normati, spazi normati di dimensione finita, funzionale di Minkowski e sue proprietà.
 -Operatori lineari tra spazi normati: duale algebrico di uno spazio vettoriale, duale topologico di uno spazio normato, lemma di Baire, teorema della mappa aperta, teorema del grafico chiuso, lemma di Osgood, principio dell’uniforme limitatezza, teorema di Banach-Steinhaus.
 -Il teorema di Hahn-Banach e i teoremi di separazione: teoremi di Hahn-Banach e conseguenze, insiemi separati, insiemi strettamente separati,
 -Topologia debole: mappa canonica e sue proprietà, topologia debole star, teorema di Banach-Alaoglu, teorema di Goldstine, spazi di Banach riflessivi, caratterizzazione di Kakutani, spazi uniformemente convessi, teorema di Milman-Pettis.

Course Syllabus

-The Peano-Jordan measure: construction and properties.
 -The Lebesgue measure: construction and properties.
-Elements of topology: metric spaces, complete metric spaces, compact metric spaces, normed spaces, normed spaces of finite dimension, Minkowsky functional and its properties.
 -Linear operators between normed spaces: algebric dual of a linear space, topological dual of a normed space, Baire's lemma, open map theorem, closed graph theorem, Osgood's lemma, uniform boundedness principle, Banach-Steinhaus theorem.
 -Hahn-Banach theorem and separation theorems: Hahn-Banach theorems and their consequences, separated sets, strictly separated sets.
 -Weak topology: canonic map and its properties, weak star topology, Banach-Alaoglu theorem, Goldstine theorem, reflexive Banach spaces, Kakutani theorem, uniform convex spaces, Milman-Pettis theorem.