Obiettivi Formativi

Conoscenza degli elementi di analisi funzionale e di teoria della misura con particolare riferimento alla (pre)misura di Peano-Jordan e alla misura di Lebesgue.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Saranno previste domande in aula per accertare la comprensione degli argomenti, verranno lasciati problemi di adeguata complessità da svolgere a casa con relative analisi e discussioni durante le lezioni successive.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di Analisi Matematica I e II e degli elementi di geometria lineare.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale sugli argomenti trattati durante il corso. La valutazione terrà conto del grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio e la capacità di esporre gli argomenti trattati. Si cercherà di testare anche la capacità di ragionamento su semplici questioni teoriche per valutare il grado di assimilazione degli argomenti.

Programma del Corso

-La misura secondo Peano-Jordan: costruzione e proprietà.
 -La misura secondo Lebesgue: costruzione e proprietà.
 -Elementi di topologia: spazi metrici, spazi metrici completi, spazi metrici compatti, spazi normati, spazi normati di dimensione finita, funzionale di Minkowski e sue proprietà.
 -Operatori lineari tra spazi normati: duale algebrico di uno spazio vettoriale, duale topologico di uno spazio normato, lemma di Baire, teorema della mappa aperta, teorema del grafico chiuso, lemma di Osgood, principio dell’uniforme limitatezza, teorema di Banach-Steinhaus.
 -Il teorema di Hahn-Banach e i teoremi di separazione: teoremi di Hahn-Banach e conseguenze, insiemi separati, insiemi strettamente separati,
 -Topologia debole: mappa canonica e sue proprietà, topologia debole star, teorema di Banach-Alaoglu, teorema di Goldstine, spazi di Banach riflessivi, caratterizzazione di Kakutani, spazi uniformemente convessi, teorema di Milman-Pettis.