Obiettivi Formativi

Conoscenza del campo dei numeri reali. Acquisizione delle nozioni di limite, continuità e derivabilitàe integrabili secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale. Acquisizione delle nozioni di successione e serie di numeri reali

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Prerequisiti

Calcolo algebrico in R. Concetti base di teoria degli insiemi.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento consiste in una prova finale scritta seguita da una prova orale. Per la valutazione si terrà conto dei seguenti elementi: padronanza dei contenuti, chiarezza e rigore nell'esposizione, capacità di applicazione delle conoscenze acquisite.

Programma del Corso

Relazioni e funzioni tra insiemi. Funzioni invertibili. Funzioni Composte. L’ insieme R. Classi separate e contigue. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. L’insieme N. Principio di induzione. Gli insiemi Z e Q. Radice n-esima. Esponente razionale e reale. Calcolo combinatorio. Binomio di Newton. L’insieme C dei numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone. Funzioni potenza, valore assoluto, esponenziale, logaritmica, trigonometriche, iperboliche e loro inverse. Proprietà delle funzioni elementari. Equazioni in R e in C. Disequazioni in R. Successioni in R. Limite di una successione: convergenza e divergenza. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, confronto. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone. Massimo e minimo limite. Successioni limitate. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. . Successioni di Cauchy. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Teoremi di Cesaro. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie convergenti e divergenti. Somma di una serie. Serie notevoli: di Mengoli, telescopiche, armonica, armonica generalizzata e geometrica. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Criteri di convergenza: confronto, rapporto, radice, di Raabe, di condensazione. Serie di segno qualunque. Criterio di Abel e di Leibniz. Serie assolutamente convergenti. Riordinamento di una serie. Teorema di Riemann-Dini. Topologia in R: intervalli, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Intorni. Punti di accumulazione, di aderenza e punti isolati. Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limite di funzioni monotone. Caratterizzazione sequenziale del limite. Operazioni con i limiti. Limite di funzioni composte e cambiamento di variabile nei limiti. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni. Limiti notevoli. Funzioni continue. Somma e prodotto di funzioni continue. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Massimo e minimo assoluti. Teorema di Weierstrass, di esistenza degli zeri, e dei valori intermedi. Criterio di invertibilità. Uniforme continuità. Funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor. Derivata e significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra. Derivata di somma, prodotto e quoziente di due funzioni. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Massimo e minimo relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange. Teorema di de L’Hospital. Criteri di monotonia e di stretta monotonia. Funzioni concave e convesse. Criteri di convessità. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. Differenziale e suo significato geometrico. Differenziabilità e derivabilità. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Applicazioni della Formula di Taylor al calcolo dei limiti. Integrabilità secondo Riemann e integrale di Riemann. Somme di Cauchy. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza. Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrale indefinito delle funzioni elementari. Regole di integrazione: per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali o ad esse riconducibili per sostituzione.