Obiettivi Formativi

Una solida preparazione di matematica di base che fornisca gli strumenti di logica e i metodi risolutivi di problemi. La conoscenza di strutture algebriche che sono alla base dell'Informatica Teorica, strumenti necessari alla comprensione e alla formalizzazione e propedeutici agli insegnamenti avanzati degli anni successivi.

Learning Goals

A solid preparation of basic mathematics that provides logical tools and troubleshooting methods. Knowledge of algebraic structures, the basis of theoretical computing; necessary tools for understanding the advanced teachings of the following years.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Le attività potranno anche essere eventualmente erogate in modalità blended e-learning. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge sia attraverso lezioni frontali che esercitazioni con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Supporti alla didattica: Dispense su argomenti svolti durante il corso e tracce d'esame fornite e dal docente

Teaching Methods

Lectures and exercises sessions. The activities may also be optionally provided in blended e-learning mode. The course, in order to achieve the expected objectives takes place through lectures and exercises in the classroom with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. Auxiliary teaching: : Lecture notes on topics covered during the course and exam tracks provided by the teacher

Prerequisiti

Algebra elementare. Nozioni di geometria analitica nel piano.

Prerequisites

The basic concepts and formulas of elementary algebra and analytic geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta per verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti a lezione e prova orale per verificare il grado di preparazione raggiunto e la proprietà di linguaggio rispetto agli argomenti trattati. La valutazione è in trentesimi.

Assessment

Written prove to verify the degree of preparation achieved and the ability to apply the knowledge acquired to solve exercises related to the subjects carried out and oral prove to verify the degree of preparation and the property of language with respect to the topics covered

Programma del Corso

Teoria degli insiemi: insiemi, sottoinsiemi, uguaglianza tra insiemi. Operazioni tra insiemi. Insieme delle parti. Famiglie di insiemi. Ricoprimenti e partizioni. Prodotto cartesiano. Cardinalità di un insieme: insiemi finiti ed infiniti. Insiemi numerabili. I Teoremi di Cantor. Relazioni su un insieme. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e insiemi quoziente. Strutture algebriche: semigruppi. monoidi, gruppi, anelli. Divisori dello zero. Domini d'integrità. Campi. Il principio d'induzione matematica. Elementi di calcolo combinatorio. Divisione e divisibilità nell’anello degli interi. Esistenza del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo. L'algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comun divisore. Identità di Bézout. I numeri primi. Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Congruenze e loro proprietà. I teoremi di Fermat e di Eulero-Fermat. L’anello delle classi resto modulo un intero n>1. Calcolo di potenze modulo n. Congruenze lineari in una indeterminata: criterio di risolubilità, ricerca di soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Il sistema crittografico RSA. Elementi di algebra lineare.

Course Syllabus

Set Theory: Sets and subsets, equality of sets. Operations on sets. Power set. Families of sets. Covers and partitions of sets. Cardinality of a set. Finite and infinite sets. Numerable sets. Cantor's theorems. Cartesian product. Relations. Equivalence relations. Equivalence classes. Quotient sets. Algebraic structures: semigroups, monoids, groups and subgroups, rings. Zero divisors. Integral domains. Fields. Principle of Mathematical Induction. Elements of Combinatorial calculus. Division and divisibility in the ring of integers Z. The division algorithm. Existence of the greatest common divisor and of the least common multiple. Euclid's algorithm. Bézout identity. Prime numbers. The fundamental theorem of arithmetic. Congruences of integers. Systems of linear congruences. Fermat’s theorem. Euler-Fermat’s theorem. Linear congruences. Chinese remainder theorem. RSA cryptosystem. Elements of linear algebra.