Obiettivi Formativi

Fornire la conoscenza del calcolo differenziale per funzioni reali ad una e più variabili; metodi per l’integrazione di funzioni ad una variabile e per funzioni scalari e vettoriali di più variabili reali. Nozioni che sono alla base dell'Informatica Teorica, strumenti necessari alla comprensione e alla formalizzazione degli insegnamenti avanzati degli anni successivi.

Learning Goals

The course must provide knowledge of differential calculation for functions of real variables. Methods for the integration functions of real variables, differential calculation for the scalar and vector functions of multiple real variables. Multiple integration. Function series. Concepts that are fundamental to theoretical computing, tools needed to understand and formalize of the advanced teachings of subsequent years.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni anche guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons and guided exercises with teacher support, with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Nozioni di matematica di base, dalla logica all’analisi. Conoscenza dei concetti fondamentali nel campo dei numeri reali, del calcolo algebrico e della geometria euclidea.

Prerequisites

Basic mathematics concepts, ranging from logic to analysis. knowledge of the basic concepts in the field of real numbers, the algebraic calculation of Euclidean geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Per la verifica dell'apprendimento è prevista una prova scritta il cui superamento, con voto ≥ 18/30, è propedeutico al colloquio orale.  Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di circa due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso, in particolare su quelli teorici (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti…). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. Lo studente che supera le prove in itinere è esonerato dalla prova scritta e può direttamente sostenere il colloquio orale. Le prove in itinere sono relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Dicembre/Gennaio per il primo modulo (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti) e Aprile/Maggio per il secondo modulo. Le due prove in itinere prevedono lo svolgimento di esercizi sugli argomenti del programma di Calcolo mod. A e Calcolo mod. B rispettivamente. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. La prova scritta è superata se la media delle due prove di verifica è ≥ 18/30. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare formulari.

Assessment

For the verification of learning, a written test is expected which (with a grade higher than 18/30), preparatory to the oral interview. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is about two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is ≥ 18/30. The oral exam focuses on the topics covered during the course, in particular on theorical topics (definitions, relevant examples, theorems, proofs, applications, links between the various topics…). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam. During the course, there are two ongoing written tests. Students who pass the ongoing tests are exempt from the final written exam and can directly take the oral exam. The ongoing tests are related to the topics covered during the course and are held respectively in the periods of Dicember/January (on dates that are agreed during the lessons with the students) and April/May. A score out of thirty is assigned to each test. The written test is passed if the average of the two tests is equal to, or greater than, 18/30. During the written exams, it is permitted to use a calculator and table of formulas

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: 5166 - CALCOLO, MODULO A ------------------------------------------------------------ FUNZIONI: Il campo dei numeri reali e proprietà. L'asse reale. Disequazioni. Funzioni ad una variabile reale, dominio, codominio. Grafico di una funzione. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. Funzioni pari, dispari. Funzioni monotone. Funzioni: valore assoluto, potenza, polinomiale, razionale, irrazionale, trigonometriche, esponenziale e logaritmica. Limiti e continuità di funzioni: limite finito, infinito. Operazioni sui limiti. Teorema di unicità del limite. Teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli. Continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo. DIFFERENZIABILIA' : Derivata e sua interpretazione geometrica. Punti angolosi. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione e derivate delle funzioni composte. Derivate successive. Differenziale. Proprietà e teoremi delle funzioni derivabili in intervalli aperti. Concavità, convessità e punti di flesso. Ricerca dei punti di massimo e/o minimo relativo o di flesso. Formula di Taylor. Forme indeterminate e teoremi de l'Hôpital. Asintoti. CALCOLO INTEGRALE: Integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni al calcolo delle aree. Integrale indefinito. Integrali elementari. Metodi di integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali impropri di funzione ad una variabile reale. Integrali impropri su intervalli infiniti, condizioni di integrabilità. ------------------------------------------------------------ Modulo: 5167 - CALCOLO, MODULO B ------------------------------------------------------------ FUNZIONI: Funzioni reali con due e più variabili, domini, grafici, curve di livello, limiti, continuità e derivabilità. Derivate ​​parziali e derivate ​​direzionali. Operatori differenziali: gradiente, divergenza e rotore di una funzione con due e più variabili. Matrice jacobiana. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine più elevati. Massimi e minimi, relativi, vincolati e assoluti. INTEGRAZIONE MULTIPLA: Integrali doppi. Significato geometrico dell'integrale doppio. Proprietà degli integrali doppi. Calcolo di integrali doppi su domini normali. Cambio di variabili per integrali doppi: coordinate polari. Integrali doppi impropri. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari e non lineari. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. Forme differenziali esatte. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo e del secondo ordine.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: 5166 - CALCOLO, MODULO A ------------------------------------------------------------ FUNCTIONS: The field of real numbers and properties. The real axis. Inequalities. Functions with a real variable, domain, codomain. Graph of a function. Operations between functions. Injective, surjective, invertible functions. Even, odd functions. Monotonous functions. Functions: absolute value, power, polynomial, rational, irrational, trigonometric, exponential and logarithmic. Limits and continuity of functions: Finite limit, infinite. Operations on limits. Theorem on the uniqueness of limit. Comparison theorems. Limits of monotonous functions. Remarkable limits. Continuity in one point. Continuity in an interval. Properties of continuous functions in a range. DIFFERENZIABILITY: Derivative and its geometric interpretation. Derivatives of elementary functions. Derivation and derivative rules of compound functions. Higher order derivatives. Differential. Properties and theorems of derivable functions in open intervals. Concavity, convexity and flexed points. Search for points of maximum and minimum relative and/or absolute, flexed points. Taylor's formula. Indeterminate forms and theorems of De l'Hôpital. Asymptotes. INTEGRAL CALCULUS: Definite integral. Integral of real function. Average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Applications to the calculation of areas. Indefinite integral. Elementary integrals. Integration methods for substitution and by parts. Integration of rational functions. Integrability conditions. Improper integrals on infinite intervals. ------------------------------------------------------------ Modulo: 5167 - CALCOLO, MODULO B ------------------------------------------------------------ FUNCTIONS: Real functions with two and more variables; domains, graphs, contour lines, limits, continuity and derivability. Partial derivatives and directional derivatives. Differential operators: gradient, divergence and rotor of a function with two and more variables. Jacobian matrix. Partial derivatives of higher order. Hessian matrix. Schwarz's theorem. Higher order differentials. Taylor's formula for functions with two and more variables. Maxima and minima, relative, constrained and absolute. MULTIPLE INTEGRATION: Double integrals. Geometric meaning of the double integral. Properties of double integrals. Calculation of double integrals on normal domains. Change of variables for double integrals: polar coordinates. Improper double integrals. DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations of the first order, linear and nonlinear. Ordinary second-order differential equations with constant, homogeneous and non-homogeneous coefficients. Exact differential forms. Introduction to partial differential equations. Cauchy problems for first and second order differential equations.