Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti un'adeguata conoscenza di alcune tecniche fisico-matematiche idonee alla descrizione dei sistemi fisici. Trasformata di Laplace e legame con la trasformata di Fourier; Equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) e metodi di integrazione; Funzioni speciali; Metodi numerici per le equazioni differenziali; Metodo della funzione di Green; Calcolo tensoriale.

Learning Goals

The aim of the course is to provide knowledge of specific physical-mathematical techniques suitable for the description of physical systems. • Laplace transform and connection with the Fourier transform; • Differential partial differential equations (EDP) and integration methods; • Special functions; • Numerical methods for differential equations; • Green function method; • Tensorial calculation.

Metodi didattici

Lezioni classiche alla lavagna ed esercitazioni. Non verranno usati power point, ma in alcuni casi verrà proiettata qualche soluzione ottenuta analiticamente o numericamente. Non è obbligatoria la presenza, ma consigliata.

Teaching Methods

Classical lessons and exercises. Power points will not be used, but in some cases some analytically or numerically obtained solution will be projected. Presence is not mandatory, but recommended.

Prerequisiti

Conoscenza e padronanza di Analisi Matematica e Geometria e conoscenza dell’analisi complessa e della trasformata di Fourier.

Prerequisites

Knowledge and mastery of Mathematical Analysis and Geometry and knowledge of complex analysis and Fourier transform.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Durante il corso verranno proposte delle prove in itinere sui vari argomenti trattati. Il superamento delle prove in itinere permetterà l’esonero dalla relativa parte della prova scritta

Assessment

The exam consists of a written test and an oral part. During the course, ongoing tests will be proposed on the various topics. Passing the ongoing tests will allow exemption from the corresponding part of the written test.

Programma del Corso

Introduzione alla trasformata di Laplace. Ascissa di convergenza. Calcolo di trasformate notevoli. Proprietà delle trasformate di Laplace. Trasformata di funzioni semiperiodiche. Legame tra la trasformata di Laplace e di Fourier. Antitrasformata di Laplace. Applicazione delle trasformate di Laplace alle equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Equazioni integrali e integro-differenziali. Equazioni con ritardo. Esempi particolarmente significativi in campo fisico. Equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP). Problemi ai valori iniziali e al contorno. Uso delle trasformate di Laplace e di Fourier per l’integrazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Applicazioni a problemi fisici. Metodo delle potenze per le equazioni differenziali. Polinomi di Legendre, Laguerre, Chebyshev, Hermite. Funzioni di Bessel di prima e di seconda specie. Formule ricorsive e rappresentazione integrale. Metodo di Eulero, Eulero generalizzato e Runge-Kutta per equazioni differenziali ordinarie. Analisi della stabilità e convergenza. Metodo delle differenze finite e metodo di collocazione per equazioni differenziali del secondo ordine con condizioni al bordo. Funzione di Green. Definizione e sue proprietà. Costruzione e unicità della funzione di Green. Esempi particolarmente significativi. Applicazioni alle equazioni differenziali del secondo ordine con condizioni al bordo omogenee e non omogenee. Vettori e tensori. Definizioni e leggi di trasformazione. Esempi particolarmente significativi. Componenti covarianti e contravarianti di vettori e tensori. Costruzione geometrica. Metrica e tensore metrico. Derivata covariante di vettori e tensori. Simboli di Christoffel. Esempi particolarmente significativi

Course Syllabus

Introduction to the Laplace transform. Convergence abscissa. Calculation of significant transforms. Properties of Laplace transforms. Transform of semiperiodic functions. Relation between the Laplace and Fourier transforms. Laplace anti-transform. Application of Laplace transforms to ordinary equations and systems of differential equations. Integral and integer-differential equations. Equations with delay. Particularly significant examples in the physical field. Differential partial differential equations (EDP). Initial and boundary value problems. Use of Laplace and Fourier transforms for the integration of partial differential equations. Applications to physical problems. Powers method for differential equations. Legendre, Laguerre, Chebyshev, Hermite polynomials. Bessel functions of first and second species. Recursive formulas and integral representation. Euler method, generalized Euler and Runge-Kutta for ordinary differential equations. Stability and convergence analysis. Finite difference method and collocation method for second order differential equations with boundary conditions. Green function. Definition and its properties. Construction and uniqueness of Green's function. Particularly significant examples. Applications to second order differential equations with homogeneous and non-homogeneous boundary conditions. Vectors and tensors. Definitions and transformation laws. Particularly significant examples. Covariant and contravariant components of vectors and tensors. Metric and metric tensor. Covariant derivative of vectors and tensors. Symbols of Christoffel. Particularly significant examples.