Obiettivi Formativi

Il modulo si propone l'acquisizione dei fondamenti dell’Analisi reale, delle proprietà strutturali degli insiemi numerici e dei concetti di limite e della continuità delle funzioni, del calcolo differenziale ed integrale. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Elementi di topologia in R Insiemi numerici; Successioni e Serie Numeriche; Funzione di variabile reale e limiti; Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale; L’integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale; Equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Learning Goals

The module aims to provide the foundations of real Analysis, the structural properties of numerical sets and the concepts of limit and continuity of functions, differential and integral calculus. In particular, the following topics are of fundamental importance: Elements of topology in R Number sets Sequences and Numerical Series Function of real variable and limits Differential calculus for functions of a real variable The Riemann integral for functions of a real variable Ordinary differential equations of the first and second order

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula (36 ore) ed esercitazioni in aula con applicazioni a problemi tipici della fisica (36 ore) con uso di Lavagna, lavagna luminosa, proiettore per PC. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Esercitazioni svolte dal docente, esercitazioni di gruppo e simulazioni di prove d’esame.

Teaching Methods

Lectures in the classroom (36 hours) and exercises in the classroom with applications to typical physics problems (36 hours) using Blackboard, overhead projector, PC projector. The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons in the classroom with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. Eexercises given by the teacher, group exercises and exam simulations.

Prerequisiti

I prerequisiti sono quelli richiesti dal CdL per l’accesso al corso di studio e verificati attraverso il test d’ingresso.

Prerequisites

The prerequisites are those required for the admission to the CdL and are verified through the corresponding test.

Verifiche dell'apprendimento

Tre test intermedi per verificare il livello di apprendimento degli studenti. Chi supera tutti i test può accedere direttamente all'orale. I test intermedi sono relativi agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). Chi non ha superato tutti i test per accedere all'orale dovrà svolgere (e superare) un compito scritto (durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica) sugli argomenti relativi al test o ai test non superato/i. Il voto finale terrà conto, oltre che della prova orale, dei voti ottenuti nei test e nell'eventuale prova scritta. Il risultato dei tre test e del compito scritto superati sarà ritenuto valido per un anno accademico entro il quale occorrerà completare l’esame sostenendo la prova orale durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica. La prova scritta e ogni test si ritengono superati se la valutazione complessiva non è inferiore a 18/30. Durante i test e le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare formulari. I test e la prova scritta prevedono lo svolgimento di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati.

Assessment

Three intermediate tests to verify the level of learning of the students. Those who pass all tests can go directly to the oral. The tests are related to the topics covered during the course and are held respectively in the periods of November and January (on dates that are agreed during the lessons with the students). Who has not passed all tests to access to oral will have play (and pass) your written work (during the exams scheduled in the exam calendar of the Degree Course in Physics) on topics related to the test (or tests) not passed. The final vote will take into account, in addition to the oral test, the marks obtained in written tests. The result of the three passed tests and the written work will be considered valid for an academic year within which it will be necessary to complete the exam by taking the oral test during the appeals foreseen by the exam calendar of the Degree Course in Physics. Students who do not participate in the on-going tests can take the written test during the exams scheduled in the exam calendar of the Degree Course in Physics. The each written test is passed if the average of the two tests is equal to, or greater than, 18/30. During the written exams and tests, it is permitted to use a calculator and table of formulas. The tests and the written exam involves exercises. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated.

Programma del Corso

-IL SISTEMA DEI NUMERI REALI. Proprietà elementari dei Numeri Reali. Assioma di Dedekind. Valore assoluto. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di Numeri Reali. La topologia della retta reale e teoremi relativi. Elementi di calcolo combinatorio. -IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI. Generalità sui Numeri Complessi. Potenze e radici di un numero complesso. Equazioni in campo complesso. -SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Definizioni. Limite di una successione. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni con i limiti. Limiti di successioni monotone. Il numero e. Massimo e minimo limite. Successioni e topologia e teoremi relativi. Insiemi compatti. Serie numeriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche. Cenni sulle successioni e serie complesse. -FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE E LIMITI. Generalità. Funzioni elementari: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche. Limiti di funzioni reali. Teoremi fondamentali sui limiti. Limiti fondamentali. Operazioni con i limiti. Funzioni continue e teoremi relativi. Uniforme continuità e teoremi relativi. -CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Definizione di derivata e significato geometrico. Teoremi per il calcolo differenziale. Differenziale di una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Operazioni con le derivate. Teoremi e applicazioni del calcolo differenziale per lo studio di una funzione. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e conseguenze. Teoremi di De Hopital e applicazioni. Formula di Taylor e applicazioni. Cenni sulla serie di Taylor. Funzioni concave e convesse. -L'INTEGRALE DI RIEMANN PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Integrali indefiniti. Regole di integrazione. Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali. L'integrale secondo Riemann. Condizione di integrabilità. Teoremi sulle funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale secondo Mengoli-Cauchy. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree, lunghezze e volumi. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati. -EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Generalità e definizioni. Integrazione di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non normale. Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n ed in particolare a coefficienti costanti e loro integrazione. Integrazione di equazioni differenziali di Eulero.

Course Syllabus

​​​​​​​-THE SYSTEMS OF REAL NUMBERS. Elementary properties of Real Numbers. Dedekind axiom. Absolute value. Extreme top and bottom of a set of Real Numbers. The topology of the real line and theorems. Elements of combinatorics. -THE FIELD OF COMPLEX NUMBERS. General information on Complex Numbers. Powers and roots of a complex number. Equations in complex field. -NUMERICAL SUCCESSIONS AND SERIES. Definitions. Limit of a sequence. The fundamental theorems on limits. Working with limits. Limits of monotone sequences. The number e. Maximum and minimum limits. Sequences and topology and theorems. Compact sets. Numerical series. Convergence criteria for numerical series Notes on complex sequences and series. -FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE AND LIMITS. General. Elementary functions: exponential, logarithmic, trigonometric, hyperbolic. Limits of real functions. Fundamental theorems on limits. Fundamental Limits. Working with limits. Continuous functions and theorems. Uniform continuity and theorems. -DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE. Definition of derivative and geometric meaning. Theorems for differential calculus. Differential of a function. Derivatives of elementary functions. Work with the derivatives. Applications to theorems of differential calculus for the study of a function. Rolle's, Cauchy's, Lagrange's theorems and consequences. De Hopitals theorem and applications. Taylor's formula and applications. Notes on the Taylor series. Concave and convex functions. -THE RIEMANN INTEGRAL FOR FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE. Indefinite integrals. Rules of Integration. Integration by decomposition, by parts, for replacement. Integration of Rational Functions. Integrals reducible to integrals of rational functions. Integral Riemann integrability condition. Theorems on integrable functions. Fundamental Theorem of Calculus Integral by Cauchy-Mengoli. Applications of integrals to calculate areas, lengths and volumes. Generalized integrals. Convergence criteria for generalized integrals. -DIFFERENTIAL EQUATIONS. Generalities and definitions. Integration of first order differential equations in normal form and not normal. Integration of some types of second-order differential equations. Ordinary differential equations of order n and in particular with constant coefficients and their integration. Integration of Euler differential equations.