Obiettivi Formativi

Approfondimento delle conoscenze della teoria astratta della misura, della teoria astratta dell’integrazione, della teoria degli spazi L^p.

Learning Goals

Acquisition of further knowledge in the field of abstract measure theory, abstract integration theory, theory of L^p spaces.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Saranno previste domande in aula per accertare la comprensione degli argomenti, verranno lasciati problemi di adeguata complessità da svolgere a casa con relative analisi e discussioni durante le lezioni successive.

Teaching Methods


Lectures and tutorials. Questions will be asked to the students in order to test the understanding of the topics, adequate problems will be left as homework and the discussion of them will take place during subsequent lessons.

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, spazi metrici, teoria della misura di Lebesgue ed elementi di base della teoria astratta della misura, teoria degli spazi normati.

Prerequisites

Knowledge of mathematical analysis with particular reference to: sequences and series of functions, general topology, metric spaces, Lebesgue measure theory and basic elements of abstract measure theory, normed space theory.

Verifiche dell'apprendimento


Esame orale sugli argomenti trattati durante il corso. La valutazione terrà conto del grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio e la capacità di esporre gli argomenti trattati. Si cercherà di testare anche la capacità di ragionamento su semplici questioni teoriche per valutare il grado di assimilazione degli argomenti.

Assessment


Oral examination on the topics treated during the course. The final rating will take into account the level of preparation, the language skills and the ability to present the topics. We will also try to test the reasoning skills on simple theoretocal questions to evaluate the level of assimilation of the arguments.

Programma del Corso


Spazi di Hilbert. La teoria astratta della misura. Misure con segno. Funzioni di distribuzione e misure di Borel. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue: esempio di Vitali. Insieme di Cantor e funzione singolare di Lebesgue. Integrazione in uno spazio di misura. Teorema di Beppo Levi. Integrazione rispetto ad una misura prodotto . Teoremi di Fubini-Tonelli. Gli spazi L^p. Duale topologico, riflessività e separabilità degli spazi L^p. Lemma di Fatou. Convergenza quasi-ovunque. Convergenza in media di ordine p. Teorema della convergenza dominata. Convergenza quasi-uniforme. Teorema di Severini-Egorov. Convergenza in misura. Misure con segno assolutamente continue rispetto ad una misura μ. Assoluta continuità nel senso di Vitali e nel senso di Caccioppoli. Teorema di Radon-Nykodym. Teorema di Vitali.

Course Syllabus


Hilbert spaces. The abstract measure theory. Signed measures. Distribution functions and Borel measures. Completion of a measure space. Measurable functions. Not Lebesgue measurable sets: Vitali's example. Cantor set and Lebesgue singular function. Integration in a measure space. Beppo Levi's theorem. Integration with respect to a product measure. Fubini-Tonelli's theorems. The spaces L^p. Topological dual, reflexivity and separability of L^p space. Fatou's lemma. Convergence almost-everywhere. Mean convergence of order p. Dominated convergence theorem. Quasi-uniform convergence. Severini-Egorov theorem. Convergence in measure. Absolutely continuous signed measure with respect to a measure μ. Absolute continuity in the sense of Vitali and in the sense of Caccioppoli. Radon-Nykodym theorem. Vitali's theorem.