Obiettivi Formativi

Conoscenza dei metodi per lo studio e l’analisi delle principali strutture algebriche non commutative (spazi vettoriali, anelli di endomorfismi, anelli primi, semiprimi, primitivi e semiprimitivi non commutativi). Comprensione della struttura delle algebre soddisfacenti identità polinomiali e identità funzionali.

Learning Goals

Knowledge of the methods for studying and analyzing the most important non commutative algebraic structures (vector spaces, endomorphism rings, prime, semiprime, primitive, semiprimitive non commutative rings. Knowledge of the structure of algebras satisfying polynomial or functional identities.

Metodi didattici

La didattica è affidata alle tradizionali lezioni frontali in aula. Vengono fornite le dimostrazioni di alcuni tra i principali teoremi di struttura. Una parte delle lezioni è dedicata allo svolgimento di esercizi esemplificativi svolti dal docente e preparatori alle prove di verifica (intermedia e finale). Sono inoltre previste esercitazioni guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, takes place through lectures in the classroom. Proofs of main structure theorems will be provided. Some classes will be devoted to exercises given by the teacher, in order to prepare for intermediate and final tests. There are also guided exercises with teacher support, with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Teoria dei gruppi, anelli e campi.

Prerequisites

Group, ring and field theory.

Verifiche dell'apprendimento

La prova finale consiste nella stesura di in un elaborato scritto, da svolgersi in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami. La prova verterà sugli argomenti relativi all’intero programma del corso. Lo studente dovrà scrivere un breve saggio su un argomento assegnato e risolvere alcuni esercizi costituiti da domande a risposta aperta. Lo studente dovrà dimostrare di saper organizzare discorsivamente la conoscenza, di aver acquisito una buona capacità di  ragionamento critico sullo studio realizzato e di saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. La valutazione della prova è espressa con un voto in trentesimi. L’esame si intende superato se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Al termine dello svolgimento della prima parte del corso viene svolta una prova intermedia di verifica (facoltativa). Gli studenti che avranno superato la prova intermedia dovranno sostenere l’esame finale su argomenti inerenti esclusivamente alla seconda parte di programma. In caso di esito positivo, il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti separatamente nella prova intermedia ed in quella finale sostenute e superate.

Assessment

The final exam consists of a written test and concernes topics related to all lectures. The student has to write a brief essay on an assigned topic and solve some exercises consisting of open answer questions The student must demonstrate that she/he has acquired both ability to discursively organize knowledge and good critical reasoning skills on the study conducted and that she/he knows how to use the tools provided during the course.   The evaluation of the test is expressed with a score out of thirty. The minimum to pass the final exam is 18/30. In the middle of the course, an ongoing (optional) exam will be carry out. Students who have passed the ongoing test will have to take the final exam on topics related exclusively to the second part of lectures.   In this case and if the exam is successful, the final grade is the arithmetic mean of the marks obtained in the ongoing and final tests.

Programma del Corso

Moduli irriducibili e moduli fedeli su di un anello. Anelli primitivi. Teorema di densità di Jacobson. Teorema di struttura degli anelli primitivi. Anelli primi e semiprimi. Teoremi di commutatività per anelli primi e semiprimi. Anelli semisemplici. Teorema di Wedderburn-Artin. Il radicale di Jacobson di un anello. Polinomi in variabili non commutative. Identità polinomiali standard. Teorema di Amitsur-Levitzki per algebre di matrici. Teorema di Kaplansky per algebre primitive e sue applicazioni. Teorema di Posner per algebre prime e sue applicazioni. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità polinomiali . Anello dei quozienti di Martindale. Polinomi generalizzati in variabili non commutative Anelli primi soddisfacenti identità polinomiali generalizzate. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità polinomiali generalizzate.  Polinomi funzionali in variabili non commutative. Derivazioni e derivazioni generalizzate in anelli semiprimi. Automorfismi in anelli semiprimi. Identità polinomiali differenziali. Identità polinomiali differenziali generalizzate. Identità polinomiali differenziali ed identità polinomiali differenziali generalizzate con automorfismi. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità funzionali. L'ipercentro di un anello. L'ipercentro di un ideale di Lie. L'ipercentro dell'insieme delle valutazioni di un polinomio. L'ipercentro generalizzato di un ideale di Lie.

Course Syllabus

Simple modules and faithful modules over a ring. Primitive rings. Jacobson density theorem. Structure theorem for primitive rings. Prime and semiprime rings. Commutativity theorems for prime and semiprime rings Semisimple rings. Wedderburn-Artin theorem. Jacobson radical of a ring. Polynomials in noncommutative indeterminates. Standard polynomial identities. Amitsur-Levitzki theorem for matrix algebras. Kaplansky theorem for primitive algebras and its applications. Posner theorem for prime algebras and its appilcations. The structure of prime and semiprime rings satisfying a polynomial identity. Martindale ring of quotients. Generalized polynomials in noncommutative indeterminates. Prime rings satisfying a generalized polynomial identity. The structure of prime and semiprime rings satisfying a generalized polynomial identity. Functional polynomials in noncommutative indeterminates. Derivations and generalized derivations in semiprime rings. Automorphisms in semiprime rings. Differential polynomial identities. Generalized differential polynomial identities. Differential polynomial identities and generalized differential polynomial identities involving automorphisms. The structure of prime and semiprime rings satisfying a functional identity. The hypercenter of a ring. The hypercenter of a Lie ideal. The hypercenter of a polynomial. The generalized hypercentralizer of a Lie ideal.