Obiettivi Formativi

Conoscenza dei metodi dell’algebra commutativa e omologica.

Learning Goals

Knowledge of methods of commutative and homological algebras.

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula ed esercitazioni in classe.

Teaching Methods

Classroom lectures and classroom exercises

Prerequisiti

Conoscenze acquisite nei corsi istituzionali di Algebra di un corso di laurea della classe L-35.

Prerequisites

The contents of the courses of Algebra of a degree of L-35 class.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consisterà in una prova orale. Durante il corso saranno assegnati esercizi e/o seminari.

Assessment

The final examination will consist of an oral test. During the course, exercises and/or seminars will be assigned.

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A ------------------------------------------------------------ Modulo A: Introduzione alla teoria delle categorie. Moduli sinistri, destri e bilateri. Prodotti diretti e somme dirette di moduli. Sequenze esatte. Lemma del serpente e sue applicazioni. Lemma dei cinque. Il modulo degli omomorfismi. Gli operatori Hom(-,- ). Prodotto tensoriale. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Moduli proiettivi, iniettivi. Inviluppi iniettivi. Moduli piatti. Moduli fedelmente piatti. Complessi di moduli. Risoluzioni libere, proiettive, iniettive, piatte di moduli e loro caratterizzazioni omologiche. ------------------------------------------------------------ Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B ------------------------------------------------------------ Modulo B: Richiami su: Anelli, omomorfismi tra anelli, teoremi di isomorfismo. Operazioni tra ideali: somma, prodotto, intersezione, radicale, divisione, caso degli ideali monomiali. Ideali primi, ideali massimali, relazioni tra essi, anelli locali, anelli semilocali, nilradicale e radicale di Jacobson: definizione e caratterizzazione. Estensione e contrazione di ideali rispetto ad omomorfismi. Anelli di frazioni e moduli di frazioni. Estensione e contrazione di ideali rispetto alla formazione di anelli di frazioni; ideali primi in un anello di frazioni, localizzazione e quoziente e loro commutabilità, proprietà locali. DECOMPOSIZIONE PRIMARIA Ideali primari, decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di un ideale, il radicale di un ideale primario è primo, un ideale avente radicale massimale è primario, l'intersezione di ideali p-primari è un ideale p-primario, divisione di un ideale primario per un ideale principale. Teoremi di unicità per le decomposizioni primarie minimali di un ideale: unicità e caratterizzazione dei primi associati ad una decomposizione primaria minimale, primi associati ad un ideale, primi minimali e primi immersi, ideali primari e formazione di frazioni, unicità delle componenti primarie isolate. MODULI E ANELLI NOETHERIANI E ARTINIANI Condizioni sulle catene (ascendenti, discendenti, finite) in un insieme ordinato, moduli noetheriani e moduli artiniani, anelli noetheriani e anelli artiniani; esempi e controesempi, noetherianità, artinianità e successioni esatte, serie di composizione, le serie di composizione di un modulo hanno la stessa lunghezza, additività della funzione lunghezza, lunghezza finita = noetherianità + artinianità, rapporto tra dimensione, lunghezza, noetherianità e artinianità di uno spazio vettoriale, noetherianità e finitezza dei sottomoduli. Noetheriano <=> artininano (per anelli) se esiste un numero finito di ideali massimali il cui prodotto è zero, in un anello noetheriano ogni ideale contiene una potenza del suo radicale, il nilradicale di un anello noetheriano è nilpotente, teorema dell’intersezione di Krull (solo enunciato), ogni dominio artiniano è un campo, proprietà degli ideali primi e del nilradicale in un anello artiniano. Teorema della Base di Hilbert. Ideali irriducibili, decomposizione in irriducibili negli anelli noetheriani, irriducibile => primario negli anelli noetheriani, esistenza di decomposizioni primarie minimali negli anelli noetheriani, l’unione dei primi associati all’ideale nullo è l’insieme dei divisori dello zero. Ogni anello artiniano è semilocale, caratterizzazione degli anelli artiniani: A artiniano <=> A noetheriano e ogni primo è massimale. Decomposizioni primarie di ideali monomiali in anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate. TEORIA DELLA DIMENSIONE Altezza di un ideale, caso dei domini ad ideali principali, teorema dell’ideale principale di Krull, caso degli anelli locali, sistema di parametri, anelli regolari, teorema di Auslander-Buchsbaum: ogni anello regolare è un dominio a fattorizzazione unica. DIPENDENZA INTEGRALE Estensioni intere, chiusura integrale, ideali nelle estensioni intere, teoremi del going-up e del going-down, lemma di normalizzazione di Noether.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A ------------------------------------------------------------ Modulo A: Introduction to category theory. Left, right modules. Direct products and direct sums of modules. Exact sequences. Snake lemma and its applications. The homomorphism module. Hom operators (-, -). Tensorial product. Finitely generated modules. Free modules. Projective, injective modules. Injective envelopes. Flat and faithfully flat modules Complex of chains and cochains. Free, projective, injective, flat resolutions of modules, and their homological characterizations. ------------------------------------------------------------ Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B ------------------------------------------------------------ Modulo B: Rings, ring homomorphisms . Operations between ideals: sum, product, intersection, radical, division, case of monomial ideals. Prime ideals, maximal ideals, relations between them, local rings, semilocal rings, nilradical and Jacobson radical: definition and characterization. Extension and contraction of ideals with respect to homomorphisms. Rings of fractions and modules of fractions. Extension and contraction of ideals with respect to fraction ring formation; prime ideals in a fraction ring, localization and quotient and their commutativity, local properties. PRIMARY DECOMPOSITION Prime ideals, primary decompositions and minimal primary decompositions of an ideal, the radical of a prime ideal is prime, an ideal having maximal radical is prime, the intersection of p-primary ideals is a p-primary ideal, division of a prime ideal by a prime ideal. Uniqueness theorems for minimal primary decompositions of an ideal: uniqueness and characterization of primes associated with a minimal prime decomposition, primes associated with an ideal, minimal primes and immersed primes, prime ideals and fraction formation, uniqueness of isolated prime components. NOETHERIAN AND ARTINIAN MODULES AND RINGS. Conditions on chains (ascending, descending, finite) in an ordered set, noetherian modules and artinian modules, noetherian rings and artinian rings; examples and counterexamples, noetherianity, artinianity and exact sequences, additivity of the length function, finite length = noetherianity + artinianity, relationship between dimension, length, noetherianity and artinianity of a vector space, noetherianity and finiteness of submodules. Noetherian <=> artininian (for rings) if there exists a finite number of maximal ideals whose product is zero, in a noetherian ring each ideal contains a power of its radical, the nilradical of a noetherian ring is nilpotent, Krull's intersection theorem, every Artinian domain is a field, properties of prime ideals and nilradical in an Artinian ring. Hilbert's Base Theorem Irreducible ideals, decomposition in irreducibles in noetherian rings, irreducible => primary in noetherian rings, existence of minimal primary decompositions in noetherian rings, the union of the primes associated with the null ideal is the set of zero divisors. Every artinian ring is semilocal, characterization of artinian rings: A artinian <=> A noetherian and every prime is maximal. Primary decompositions of monomial ideals in polynomial rings in a finite number of variables. DIMENSION THEORY Height of an ideal, Krull principal ideal theorem. case of local rings, system of parameters, regular rings, Auslander-Buchsbaum theorem: every regular ring is a UFD. INTEGRAL DEPENDENCE Integral extensions, integral closure, ideals in integral extensions, going-up and going-down theorems, Noether normalization lemma. Valuation rings and valuations, discrete valuations and Dedekind domains.