Obiettivi Formativi

Conoscenza della trasformata di Fourier di funzioni sommabili, della trasformata di Laplace di funzioni localmente sommabili e delle loro principali proprietà. Applicazioni delle suddette trasformate alla risoluzione di equazioni e sistemi differenziali lineari ordinari e alle derivate parziali. Distribuzioni e calcolo della trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.

Learning Goals

Knowledge of Fourier and Laplace transforms for summable and locally summable functions, respectively, and on their relative properties and applications to solve linear ordinary and partial differential equations and systems. Knowledge on Fourier Transform of a temperate distribution.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni

Teaching Methods

Lectures and tutorials

Prerequisiti

Calcolo di differenziale e integrale per funzioni reali di una o più variabili reali. Successioni e serie di funzioni. Campo dei numeri complessi. Misura di Lebesgue.

Prerequisites

Differential and integral calculus. Sequences and series of functions. The set of complex numbers. Lebesgue measure.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento consiste in una singola prova orale. Principali elementi di valutazione sono i seguenti: padronanza dei contenuti, chiarezza e rigore nell'esposizione, capacità di applicazione delle conoscenze acquisite.

Assessment

The verification of learning consists in a single oral test. The following items are taking into account for the assesment: the mastery of content knowledge, the clarity and accuracy of the exposition, the ability to apply knowledge and understanding.

Programma del Corso

Richiami di Analisi Complessa. Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Uniforme continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e derivazione. Convoluzione. Formula di moltiplicazione. Teoremi di inversione. Identità di Parseval. Trasformata di Laplace: Trasformabilità e assoluta trasformabilità secondo Laplace in un punto di funzioni localmente sommabili. Definizione di trasformata di Laplace in un punto. Proprietà della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace. Teorema sulla convoluzione e sue conseguenze. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Il problema dell’antitrasformazione. Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni ed ai sistemi di equazioni differenziali lineari ordinarie. Distribuzioni: Lo spazio D delle funzioni test. Lo spazio S di Schwartz. Lo spazio E. Immersione di D in S e di D in E. Densità di D in E. Lo spazio D' delle distribuzioni. Distribuzioni funzione. Il delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Distribuzioni misura. Derivata di una distribuzione. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Il duale E' dello spazio E. Convoluzione tra distribuzioni. Le trasformate di Fourier e di Laplace nell’ambito delle distribuzioni.

Course Syllabus

Outlines of complex analysis. Fourier transform of a summable function and related properties. Applications of Fourier transform to partial differential equations. Laplace Transform of a locally summable function and related properties. Application of the Laplace transform to the Cauchy problem for linear ordinary differential equations. Test functions and distributions. The Fourier transform of a temperate distribution.