Obiettivi Formativi

Conoscenza di metodi e tecniche per lo studio qualitativo e quantitativo di sistemi dinamici lineari e non lineari continui e di mappe discrete. Conoscenza della teoria dei gruppi di Lie di trasformazioni e della loro generalizzazione per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Conoscenza dell'uso di sistemi di calcolo scientifico simbolico e numerico.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni con l'ausilio di strumenti simbolici e numerici di calcolo scientifico.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale di funzioni di variabili reali. Algebra lineare. Strutture algebriche (gruppi, campi, spazi vettoriali, algebre).

Verifiche dell'apprendimento

Stesura di una tesina su argomenti assegnati dal docente accompagnata da un esame orale.

Programma del Corso

Sistemi di equazioni differenziali lineari. Richiami di algebra lineare di base: matrici e operatori, sottospazi, basi e dimensione, cambiamenti di basi e coordinate. Spazi vettoriali complessi. Operatori reali con autovalori complessi. Riassunto della topologia di R^n. Esponenziale di operatori. Sistemi lineari omogenei. Sistemi non omogenei. La decomposizione primaria. La decomposizione S+N. Calcolo diretto di exp(At). Decomposizione canonica ed equazioni differenziali. Operatori contrattivi ed espansivi. Pozzi e sorgenti. Flussi iperbolici. Esistenza e unicità della soluzione. Continuità delle soluzioni dai dati iniziali. Continuazione delle soluzioni. Stabilità dei punti di equilibrio. Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio. Pozzi non lineari. Stabilità. Funzione di Liapunov. Equazioni differenziali con autovalori reali e distinti. Autovalori complessi. Autospazi e varietà invarianti. Costruzione analitica delle varietà stabile e instabile. Biforcazioni dei sistemi continui. Biforcazioni dei punti fissi. Biforcazioni statiche. Biforcazione di Hopf. Forme normali per le biforcazioni. Riduzione sulla varietà centrale. Equazioni differenziali dei circuiti elettrici. Equazione di Van der Pol. Metodi asintotici: Poincaré, Lindstedt, scale multiple. Soluzioni periodiche. Teoria di Floquet. Varietà delle soluzioni periodiche. Mappe di Poincaré. Biforcazioni delle soluzioni periodiche. Biforcazione per rottura di simmetria. Biforcazione ciclica ripiegata. Biforcazione transcritica. Biforcazione di raddoppio del periodo. Biforcazione di Hopf secondaria o di Neimark. Sistemi dinamici discreti. Punti fissi, orbite periodiche e loro stabilità. Soluzioni caotiche.Mappe Unidimensionali. Esponente di Liapunov in una dimensione. Mappa logistica. Mappe bidimensionali. Mappa di Henon. Esponenti di Liapunov di mappe discrete. Calcolo numerico degli esponenti di Liapunov. I sistemi di Lorenz, Rossler e Chua. Esponenti di Liapunov dei sistemi continui. Gruppi continui di trasformazioni. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti, variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali. Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Simmetrie di Lie di equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie. Invarianti differenziali. Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Esempi e applicazioni. Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma, lineare, in forma autonoma e quasilineare omogenea. Principali teoremi ed applicazioni.  Simmetrie non classiche e condizionali: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Trasformazioni di equivalenza. Software di calcolo simbolico per lo studio delle simmetrie di Lie di equazioni differenziali.