Obiettivi Formativi

Fare acquisire agli studenti un’adeguata conoscenza e comprensione di alcuni elementi di base dell’Analisi Matematica relativi alle funzioni di una variabile che risultano fondamentali per le scienze ingegneristiche e per le loro realtà applicative fare sviluppare la capacità di applicare in maniera autonoma le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi anche complessi fare ottenere autonomia di giudizio al fine di utilizzare, in modo critico, gli strumenti di calcolo studiati, come ad esempio, il calcolo differenziale e il calcolo integrale, i numeri complessi oltreché le successioni e le serie numeriche far acquisire un’appropriata abilità di comunicazione attraverso l’uso di un linguaggio scientifico rigoroso, al fine di sostenere argomentazioni teoriche su temi applicativi far sviluppare le abilità di apprendimento necessarie sia per affrontare gli studi successivi per l’inserimento, in futuro, in diversi contesti lavorativi, possedendo un alto grado di autonomia ed un bagaglio culturale tale che gli consenta di avere le capacità di adattarsi e aggiornarsi continuamente

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Prerequisiti

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di tre esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. Durante lo svolgimento del corso, sono previste due prove scritte in itinere. Lo studente che supera le prove in itinere è esonerato dalla prova scritta e può direttamente sostenere la prova orale. Le prove in itinere sono relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). La prima prova in itinere prevede lo svolgimento di esercizi sui seguenti argomenti: disequazioni numeriche, successioni numeriche, determinazione del domino di funzioni reali in una variabile reale, numeri complessi, serie numeriche. La seconda prova in itinere verte sullo studio di funzione e la risoluzione di integrali indefiniti e definiti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. La prova scritta è superata se la media delle due prove di verifica è pari o maggiore a 15/30. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare il libro di testo. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili alla pagina Moodle del corso.

Programma del Corso

-INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI: Numeri reali, assioma di completezza, funzioni, dominio e codominio di una funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biettiva, funzioni composte, funzione inversa, topologia della retta reale, funzioni monotone, funzioni limitate, grafico di funzioni elementari. -NUMERI COMPLESSI: Definizione di numero complesso, Rappresentazione algebrica e trigonometrica, Potenza di un numero complesso, Radice n-sima di un numero complesso , Risoluzione di equazioni in campo complesso. -SUCCESSIONI NUMERICHE, successioni monotone limiti di successione, teorema di unicità del limite, algebra dei limiti, teorema del confronto, teorema sulle successioni monotone, successioni estratte, teorema di Bolzano-Weierstrass. -SERIE NUMERICHE Carattere di una serie, Serie geometrica, Serie di Mengoli, Serie armonica, Serie armonica generalizzata, Condizione necessaria per la convergenza, Serie a termini non negativi, Criterio del confronto, del rapporto, della radice, Serie a termini di segno alterno, Criterio di Leibniz , Serie assolutamente convergenti. -LIMITI DI FUNZIONE: Limiti notevoli, Gerarchia degli infiniti, confronto fra infiniti, principio di sostituzione degli infiniti, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, algebra dei limiti, tecniche per il calcolo dei limiti. -FUNZIONI CONTINUE: algebra della continuità, teorema di continuità delle funzioni composte, punti di discontinuità, teorema dell'esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema su funzioni inverse. -CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI A VALORI REALI, derivata, retta tangente, algebra delle derivate, teorema derivabilità continuità, punti di non derivabilità, teorema di derivazione delle funzioni composta, teorema di derivazione delle funzioni inverse, definizione di punto critico, massimi e minimi relativi , teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, conseguenze al teorema di Lagrange, studio di funzione, teorema di Cauchy, teorema di De L’Hopital , funzioni concave e convesse, derivate successive. -CALCOLO INTEGRALE: primitiva di una funzione, integrale indefinito, integrali elementari, tecniche di integrazione, integrazione di funzioni composte, integrazione per parti, integrale secondo Riemann, proprietà dell'integrale, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale, Calcolo di aree, Integrali impropri, Criteri di convergenza.