Obiettivi Formativi

Gli obiettivi del corso di “Analisi Matematica II” sono che gli studenti acquisiscano conoscenza e comprensione di alcuni elementi di base dell’analisi matematica relativi alle funzioni vettoriali di più variabile che risultano fondamentali per le scienze ingegneristiche e per le loro realtà applicative. A tal fine la parte teorica del corso sarà presentata in modo rigoroso ma conciso e accompagnata da una parallela attività di esercitazione volta a favorire la comprensione dei concetti; sviluppino la capacità di applicare le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi teorici anche complessi come attraverso la teoria del calcolo differenziale e il calcolo integrale di funzioni di più variabili, oltreché curve e integrali curvilinei, equazioni differenziali ordinarie; ottengano autonomia di giudizio nell’ analizzare problemi e applicare le metodologie matematiche opportune; siano in grado di comunicare con competenza e proprietà di linguaggio su problematiche inerenti le tematiche studiate; siano capaci di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente percorsi di formazione successivi.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Prerequisiti

Conoscenze di Analisi Matematica 1 e Geometria e Algebra.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale.

Programma del Corso

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia in R^n - funzioni di più variabili: limiti e continuità - derivate parziali - derivate direzionali - differenziale e funzioni differenziabili - teorema del differenziale totale - funzioni composte - teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz - differenziale - matrice hessiana - derivazione funzioni vettoriali - matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili -forme quadratiche – cenni sulle funzioni implicite ed alcune applicazioni.  Integrali curvilinei e forme differenziali Curve regolari - lunghezza di una curva - ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione - forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. Calcolo integrale per funzioni di più variabili Integrali doppi - domini normali - integrale di funzione limitata su domini normali - proprietà elementari dell'integrale doppio - calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione - cambiamento di variabili Equazioni differenziali ordinarie. equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee, equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti; equazioni lineari non omogenee.