Obiettivi Formativi

Il corso si pone come obiettivo quello di: fare acquisire agli studenti un’adeguata conoscenza e comprensione di quei principi teorici dell'Algebra Lineare e della Geometria che sono fondamentali per lo studio delle discipline ingegneristiche; fare sviluppare la capacità di applicare in maniera autonoma le nozioni acquisite per impostare, analizzare e risolvere problemi; fare ottenere autonomia di giudizio al fine di poter utilizzare come strumenti utili ai corsi di Ingegneria Civile gli argomenti studiati, quali le principali strutture algebriche, le figure geometriche nel piano e nello spazio e gli aspetti fondamentali della teoria delle matrici, con applicazioni allo studio degli operatori lineari e bilineari; fare acquisire un’idonea abilità di comunicazione attraverso l’uso del metodo logico-deduttivo proprio dell’algebra, al fine di sviluppare un linguaggio scientifico rigoroso; fare sviluppare le abilità di apprendimento necessarie per affrontare gli studi successivi.

Learning Goals

The course aims: to make students acquire adequate knowledge and understanding of those theoretical principles of Linear Algebra and Geometry that are fundamental for the study of engineering disciplines; to develop the ability to independently apply the knowledge acquired to set up, analyze and solve problems; to obtain independent judgment in order to be able to use the subjects studied as useful tools for Civil Engineering courses such as the main algebraic structures, the geometric figures in the plane and in the space and the fundamental aspects of matrix theory, with applications to the study of linear and bilinear operators; to acquire a suitable communication skill through the use of the logical-deductive method proper to algebra, in order to develop a rigorous scientific language; to develop the learning skills necessary to deal with the subsequent studies.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula, esercitazioni guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico, e simulazioni di prove d’esame con lo scopo di preparare gli studenti alle prove in itinere e all’esame scritto finale. Tutte le attività sono svolte con supporto di slide.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also exercises in the classroom and guided exercises with teacher support, with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking, and exam simulations in order to prepar the students for the intermediate tests and the final written exam. All activities are carried out with the support of slides

Prerequisiti

Nozioni di base dell'algebra dei polinomi, di trigonometria e di geometria euclidea piana.

Prerequisites

Basics of polynomial algebra, trigonometry and Euclidean plane geometry.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere (facoltative) che prevedono la risoluzione di due esercizi su argomenti di algebra lineare (prima prova) e due esercizi su argomenti di geometria nel piano e nello spazio (seconda prova). Il tempo assegnato per ciascuna prova è di 45 minuti. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare il libro di testo. Ogni prova s’intende superata se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Lo studente che supera entrambe le prove intermedie è considerato idoneo al superamento dell’esame scritto e quindi esonerato dalla prova scritta finale. Il voto finale è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove superate. Lo studente che non supera una delle due prove intermedie deve sostenere l’esame scritto finale in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami. La prova scritta finale riguarda argomenti della parte di programma relativa alla prova precedentemente non superata. Se la prova finale ha esito positivo, il voto finale è la media aritmetica dei voti conseguiti in ciascuna delle prove (intermedia e finale) sostenute e superate. In ogni caso, lo studente può decidere di non affrontare alcuna prova intermedia e sostenere solo l’esame scritto finale (in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami), che prevede la risoluzione di quattro esercizi su argomenti riguardanti l’intero programma e che s’intende superato se il punteggio conseguito è pari o superiore a 18/30. Il tempo assegnato per la prova scritta è di 90 minuti. La prova scritta ha validità per tutto l’anno accademico, entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. L’esame orale consiste in domande su argomenti trattati durante il corso ed è volto ad accertare le conoscenze acquisite e la capacità di esporre gli argomenti mediante l’uso di un linguaggio scientifico appropriato. Il voto finale è la media aritmetica dei voti conseguiti nella prova scritta e nell’esame orale e l’esame s’intende superato se il voto finale è pari o superiore a 18/30.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. There are two (optional) intermediate written tests, which provide for the resolution of two exercises on topics of linear algebra (first test) and two exercises on topics of geometry in the plane and in the space (second test). The time allotted for the each written test is 45 minutes. During the written exams, it is permitted to use a calculator and to consult the textbook. Each test is passed if the student obtains a grade of at least 18/30. The student who passes both intermediate tests is considered eligible to pass the written exam and therefore exempted from the final written test. The final grade is the arithmetic mean of the grades obtained in the two tests. The student who does not pass one of the two intermediate tests must take the final written exam on any of the dates scheduled in the exam calendar. The final written test concerns topics in the part of the program related to the previously failed test. If the final test is successful, the final grade is the arithmetic mean of the grades obtained in each of the tests (intermediate and final tests). In any case, the student can decide not to take any intermediate test and take only the final written exam (on any of the dates scheduled in the exam calendar), which provides for the resolution of four exercises on topics concerning the whole program and which is considered passed if the score is equal to or greater than 18/30. The time allotted for the final written test is 90 minutes. The written exam is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam consists of questions on topics covered during the lectures and is aimed at ensuring the acquired knowledge and the ability to present the topics with appropriate scientific language. The final grade is the arithmetic mean of the grades obtained in the written and oral exams and the exam is passed if the final grade is equal to or greater than 18/30.

Programma del Corso

-STRUTTURE ALGEBRICHE: Gruppi. Anelli. Campi. -SPAZI VETTORIALI: Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Dipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. -MATRICI E SISTEMI LINEARI: Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Matrici invertibili. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Metodi risolutivi. Sistemi lineari omogenei. -APPLICAZIONI LINERI: Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Applicazioni lineari e matrici. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice. -SPAZI EUCLIDEI: Forme bilineari e forme quadratiche. Prodotto scalare e spazi euclidei. Basi ortonormali e proiezioni ortogonali. -I VETTORI DELLO SPAZIO GEOMETRICO: Vettori applicati. Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici. Equazione vettoriale di una retta. Equazione vettoriale di un piano. Prodotto vettoriale e prodotto misto. -GEOMETRIA NEL PIANO: Rappresentazione di una retta. Intersezione di due rette e condizione di parallelismo. Fascio di rette. Angolo di due rette e condizione di ortogonalità. Distanze. Circonferenza. Luoghi geometrici: ellisse, iperbole, parabola. Coniche. -GEOMETRIA NEL PIANO: Rappresentazione di un piano. Intersezione di due piani e condizione di parallelismo. Fascio di piani. Stella di piani. Rappresentazione di una retta nello spazio. Condizioni di parallelismo. Angoli e distanze. Condizioni di ortogonalità. Sfera. Circonferenza nello spazio. Quadriche.

Course Syllabus

-ALGEBRAIC STRUCTURES: Groups. Rings. Fields. -VECTOR SPACES: Vector spaces. Vector subspaces. Linear dependence. Base of a vector space. Dimension of a vector space. -MATRICES AND LINEAR SYSTEMS: Matrices. Operations on matrices. Determinant of a square matrix. Invertible matrices. Rank of a matrix. Linear systems. Rouchè-capelli Theorem. Solving method. Homogeneous linear systems. -LINEAR MAPS: Linear maps between vector spaces. Linear maps and matrices. Autovalues and autovectors of an endomorphism. Diagonizability of an endomorphism and of a matrix. -EUCLIDEAN SPACES: Bilinear and quadratic forms. Scalar product and euclidean spaces. Orthonormal bases and orthogonal projections. -THE VECTORS OF THE GEOMETRIC SPACE: Applied vectors. The linear space of the geometric vectors. Vectorial equation of a line. Vectorial equation of a plane. Vector product and mixed product. -GEOMETRY IN THE PLANE: Representation of a line. Intersection of two lines and parallelism condition. Sheaf of lines. Angle of two lines and condition of orthogonality. Distances. Circle. Geometric logos: ellipse, hyperbola, parabola. Conics. -GEOMETRY IN THREE-DIMENSIONAL SPACE: Representation of a plane. Intersection of two planes and parallelism condition. Sheaf of planes. Star of planes. Representation of a line in the space. Parallelism conditions. Angles and distances. Orthogonality conditions. Sphere. Circle in the space. Quadrics.