Obiettivi Formativi

Il corso permette agli studenti di acquisire: padronanza nello studio di algoritmi numerici per la risoluzione di problemi di base del calcolo scientifico, necessari per le applicazioni in ambito geofisico; nozioni fondamentali per l’implementazione degli algoritmi in ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico; i metodi necessari ad una analisi critica dei risultati ottenuti da differenti insieme di dati.

Learning Goals

The course allows students to acquire: mastery in the study of numerical algorithms for the solution of basic problems of scientific computing, needed for applications in geophysical field; fundamental notions for the implementation of algorithms in development environments for scientific computing; the methods for a critical analysis of the results obtained from different input data sets.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso sono implementati nell’ambiente di sviluppo per il calcolo scientifico MATLAB&Simulink al fine di permettere la necessaria sperimentazione per stimolare e acquisire l’analisi critica dei risultati ottenuti. L'implementazione degli algoritmi studiati e la loro sperimentazione con la relativa analisi dei risultati sono fondamentali per l’apprendimento della materia. Per cui gli studenti, divisi in gruppi formati da due o tre persone per favorire l’apprendimento di lavorare in team, devono presentare i progetti svolti, almeno uno per ogni grande capitolo del corso, per ottenere il giudizio di laboratorio necessario per l’ammissione all’esame finale, che è orale. La buona qualità dell’attività di laboratorio, non espressa da un voto in trentesimi, viene tenuta in considerazione nella determinazione del voto finale. Gli studenti, che durante il corso non hanno presentato alcun progetto entro la data prestabilita, il giorno dell’esame dovranno fare una prova pratica di laboratorio, comprensiva dell’analisi dei risultati, prima di poter essere ammessi a sostenere l’orale.

Teaching Methods

The lessons of the course are integrated by practical exercises carried out in the laboratory, during which the algorithms and numerical methods studied during the course are implemented in the development environment for the scientific computing: MATLAB&Simulink, in order to allow the necessary experimentation to stimulate and acquire the critical analysis of the obtained results. The implementation of the studied algorithms and their experimentation with the related analysis of the results are fundamental for learning the subject. So the students, divided into groups of two or three people to encourage learning to work in a team, must present the projects carried out, at least one for each major chapter of the course, to obtain the laboratory assessment necessary for admission to the final exam, which is oral. The good quality of the laboratory activity, not expressed by a mark out of thirty, is taken into consideration in the determination of the final mark. Students, who during the course did not submit any project by the established date, on the day of the exam will have to do a practical laboratory test, including the analysis of the results, before they can be admitted to take the oral exam.

Prerequisiti

Conoscenze di matematica

Prerequisites

Mathematics knowledge

Verifiche dell'apprendimento

Come descritto anche nella sezione “Altre Informazioni”, le verifiche dell'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma divisi in grandi gruppi, che prevedono l'implementazione degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su differenti insiemi di dati. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. L’esame finale è orale.

Assessment

As also described in the "Other Information" section, the learning tests are based on a series of exercises on the program topics divided into large groups, which provide for the implementation of the algorithms and the verification of these numerical methods on different sets of data . Thereby: 1) the knowledge acquired by students on every single topic of the program is ascertained; 2) students' ability to apply the studied theory to particular problems is verified. The final exam is oral.

Programma del Corso

L’AMBIENTE DI SVILUPPO MATLAB&Simulink: Comandi MATLAB. Programmare in MATLAB. NUMERI FINITI E ERRORI: Teorema di rappresentazione dei numeri reali. Numeri finiti: l’insieme dei numeri di macchina. Precisione di macchina. Analisi degli errori. Stabilità degli algoritmi. Condizionamento dei problemi. Indici di condizionamento. Errori nelle operazioni aritmetiche con numeri finiti. Matrici e vettori. Operazioni sulle matrici. Norme vettoriali e matriciali. METODI PER I SISTEMI LINEARI: Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Fattorizzazione LU. Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale. Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Stima dell'indice di condizionamento di una matrice. Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan. Matrici simmetriche definite positive. Algoritmo di Cholesky. Matrici sparse. Risoluzione di un sistema tridiagonale. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocità di convergenza per i metodi iterativi. Condizioni di convergenza. Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI E DI DATI: Interpolazione. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Interpolazione di Chebyshev. Interpolazione trigonometrica e FFT. Interpolazione e approssimazione con funzioni spline. Il metodo di approssimazione ai minimi quadrati. DIFFERENZIAZIONE E INTEGRAZIONE NUMERICA: Approssimazione delle derivate. Integrazione numerica.La formula del trapezio. La formula di Simpson. La formule adattive. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Il problema di Cauchy. I metodi di Eulero. Analisi di convergenza. Zero-stabilità. La regione di assoluta stabilità. Metodi di ordine elevato. Metodi predictor-corrector. Sistemi di equazioni differenziali.

Course Syllabus

THE MATLAB&Simulink ENVIRONMENT: MATLAB statements. Programming in MATLAB . FINITE NUMBERS AND ERRORS: Theorem of representation of real numbers. The set of floating-point numbers. Floating-point relative accuracy. Error analysis. Stability of algorithms. Condition number. Errors in arithmetic operations with floating-point numbers. Matrices and vectors. Matrix operations. Norms of vectors and matrices. METHODS FOR LINEAR SYSTEMS: Direct methods for linear systems. Factorization of a matrix. Gauss method. Computational cost of the algorithm of Gauss factorization. Stability of the factorization algorithms. Condition number of a matrix. Inversion of a matrix by means the Gauss-Jordan method. Symmetric positive definite matrices. Cholesky algorithm. Sparse matrices. Method for tridiagonal system. Iterative methods for linear systems. Jacobi method. Gauss-Seidel method. Convergence for iterative methods. APPROXIMATION OF FUNCTIONS AND DATA: Interpolation. Lagrangian polynomial interpolation. Stability of polynomial interpolation. Interpolation at Chebyshev nodes. Trigonometric interpolation and FFT. Piece-wise linear interpolation. Interpolation and approximation by spline functions. The least-squares method. NUMERICAL DIFFERENTIATION AND INTEGRATION: Approximation of function derivatives. Numerical integration. Trapezoidal formula. Simpson formula. Adaptive formula. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: The Cauchy problem. Euler methods. Convergence analysis. Zero-stability. The region of absolute stability. High order methods. The predictor-corrector methods. Systems of differential equations.