Obiettivi Formativi

Acquisizione di concetti fondamentali dell’’analisi numerica, necessari a dare una risposta numerica a problemi reali del calcolo scientifico mediante elaboratore elettronico digitale, e della programmazione. Acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici avanzati e della loro implementazione in ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico. Capacità di applicare le competenze apprese per individuare gli strumenti opportuni per la risoluzione di modelli matematici, associati a problemi reali del calcolo scientifico, e per l’implementazione dei relativi algoritmi ottimizzati. Capacità di sviluppare un ragionamento logico per affrontare la risoluzione numerica di problemi reali del calcolo scientifico, al fine di realizzare algoritmi ottimizzati, basati sull’’analisi dell’’insieme dei dati di input e sull’’interpretazione critica dei risultati ottenuti. Acquisizione del linguaggio e del formalismo dell’analisi numerica per l’esposizione: delle conoscenze acquisite; della risoluzione di modelli matematici, associati a problemi reali del calcolo scientifico; e dell’’analisi dei risultati. Apprendimento di metodi, tecniche e strumenti atti alla risoluzione di modelli matematici, associati ad attuali problemi, e allo sviluppo dei relativi algoritmi ottimizzati.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso sono implementati nell’ambiente di sviluppo per il calcolo scientifico MATLAB&Simulink al fine di permettere la necessaria sperimentazione per stimolare e acquisire l’analisi critica dei risultati ottenuti. L'implementazione degli algoritmi studiati e la loro sperimentazione con la relativa analisi dei risultati sono fondamentali per l’apprendimento della materia. Per cui gli studenti, divisi in gruppi formati da due o tre persone per favorire l’apprendimento di lavorare in team, devono presentare i progetti svolti, almeno uno per ogni grande capitolo del corso, per ottenere il giudizio di laboratorio necessario per l’ammissione all’esame finale, che è orale.

Prerequisiti

Matematica di base, algoritmi e strutture dati di base, basi di programmazione.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche dell'apprendimento si basano su il giudizio di laboratorio e sull’esame orale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio, che non è espressa con un voto in trentesimi, si ottiene svolgendo un esercizio, per ogni grande capitolo del corso. L’esercizio deve comprendere l’implementazione del metodo numerico e l’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati. Gli studenti, che durante il corso non hanno presentato alcun progetto entro la data prestabilita, il giorno dell’esame dovranno fare una prova pratica di laboratorio, comprensiva dell’analisi dei risultati, prima di poter essere ammessi a sostenere l’orale. La buona qualità dell’attività di laboratorio viene tenuta in considerazione nella determinazione del voto finale. L’esame finale è orale.

Programma del Corso

L’AMBIENTE DI SVILUPPO MATLAB&Simulink: Comandi MATLAB. Programmare in MATLAB. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI, CURVE, SUPERFICI E DATI: Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati. Approssimazione ai minimi quadrati discreti con Spline lineari e cubiche. Funzioni B-Spline. Spline parametriche. Ricostruzione di curve. Interpolazione trigonometrica. Trasformata discreta di Fourier. APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA LINEARE NUMERICA: Sistemi sovra-determinati: Fattorizzazione QR. Metodo di Householder e metodo di Givens. Decomposizione in valori singolari di una matrice (SVD) e proprietà. SVD troncata e applicazioni. Minimi quadrati e SVD. Norma di matrici rettangolari. Pseudo-inversa di Moore-Penrose. Indice di condizionamento di una matrice. EQUAZIONI NON LINEARI: Metodo di bisezione. Metodi delle corde, secanti, Regula Falsi. Metodi di iterazione funzionale. Convergenza. Metodo di Newton. AUTOVALORI E AUTOVETTORISD: Teoremi di localizzazione. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Equazioni e sistemi di equazioni differenziali di ordine p. Metodi di Eulero, Eulero modificato e Eulero-Heum. Le formule di Runge-Kutta. Metodi multistep. Le formule di Adams-Bashfort e di Adams-Moulton. Consistenza, Convergenza e Stabilità delle formule.