Obiettivi Formativi

Far acquisire conoscenze sul calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili e sui metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie. Far acquisire la capacità di applicare le conoscenze maturate nell'ambito dell'Analisi Matematica per analizzare e risolvere problemi dell'ingegneria di base. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti l'insegnamento anche attraverso un confronto critico tra diverse possibili soluzioni di uno stesso problema matematico. Far acquisire la capacità di far comprendere anche a interlocutori non specialisti le problematiche trattate nel corso di Analisi Matematica utilizzando un linguaggio scientifico adeguato. Far acquisire la capacità di apprendimento necessaria da consentire l’approfondimento individuale delle conoscenze e per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia

Learning Goals

To acquire knowledge on the main results of differential and integral calculus for the functions of several variables and the solution methods of some types of ordinary differential equations. To acquire the ability to apply the knowledge gained in the context of Mathematical Analysis to identify, formulate and solve basic engineering problems. To acquire the ability to independently identify the tools and data sources necessary for the analysis, understanding and resolution of problems, also through a critical comparison between different possible solutions of the same mathematical problem. To acquire the ability to make non-specialist interlocutors understand the problems dealt with in the course of Mathematical Analysis using appropriate scientific language. To acquire the necessary learning ability to allow the individual deepening of knowledge and to undertake subsequent studies with a high degree of autonomy.

Metodi didattici

Il corso è erogato in lezioni frontali ed esercitazioni guidate svolte dal docente durante le quali gli argomenti vengono introdotti dal punto di vista teorico e immediatamente applicati attraverso lo svolgimento di esercizi. Alcune lezioni saranno erogate attraverso l’uso di una tavoletta grafica e il file.pdf generato sarà caricato sulla pagina Moodle del corso. Durante le lezioni verrà utilizzato anche il software gratuito GEOGEBRA attraverso il quale gli Studenti potranno visualizzare “l’oggetto matematico” proposto nell’esercizio e scegliere il metodo più opportuno per studiarlo.

Teaching Methods

The course is delivered in lectures in the classroomand and guided exercises given by the teacher during which the topics are introduced from a theoretical point of view and immediately applied through exercises. Some lessons will be carried out with the support of a tablet and the generated files will be uploaded on the moodle page of the course. During the lessons the free software GEOGEBRA will also be used, through which the students will be able to view the "mathematical object" proposed in the exercise and choose the most appropriate method to study it.

Prerequisiti

Si richiede la conoscenza dei contenuti erogati nel corso di ANALISI MATEMATICA I.

Prerequisites

Knowledge of the contents provided during the course of MATHEMATICAL ANALYSIS I is required.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di cinque/sei esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. Lo studente che supera le prove in itinere è esonerato dalla prova scritta e può direttamente sostenere la prova orale. Le prove in itinere sono relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente a metà e a fine corso (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. La prova scritta è superata se la media delle due prove di verifica è pari o maggiore a 15/30. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare il libro di testo.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. During the written test, students are asked to perform the complete development of five/six exercises. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 15/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, proofs, applications, links between the various topics.). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam. During the course, there are two ongoing written tests. Students who pass the ongoing tests are exempt from the final written exam and can directly take the oral exam. The ongoing tests are related to the topics covered during the course and are held respectively in the middle and at the end of the course (on dates that are agreed during the lessons with the students). A score out of thirty is assigned to each test. The written test is passed if the average of the two tests is equal to, or greater than, 15/30. During the written exams, it is permitted to use a calculator and to consult the textbook.

Programma del Corso

-CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: Elementi di topologia in R^n: distanza tra due punti, altre metriche in R^n, intorno di un punto, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi, insiemi compatti. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria per l'esistenza del limite. Definizione di funzione continua. Teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una funzione. Condizione necessaria di differenziabilità. Differenziale di una funzione. Relazione tra differenziabilità e continuità. Relazione tra differenziabilità e derivabilità. Funzione composta, teorema sull'esistenza della derivata della funzione composta. Derivata direzionale di una funzione, teorema sull'esistenza delle derivate direzionali. Applicazioni fisiche del calcolo differenziale. Teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. -ESTREMI RELATIVI ED ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI: Cenni sulle forme quadratiche in R^{n}: forme quadratiche semidefinite positive, negative, forme quadratiche definite positive, negative. Estremi relativi di una funzione: definizione, punti di estremo relativo proprio, condizione necessaria del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di estremo relativo proprio. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. -CURVE REGOLARI E INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE: Rappresentazioni parametriche equivalenti, curve regolari in R^n, traccia di una curva, curve chiuse, curve semplici, versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea.  Integrale curvilineo di una funzione. Baricentro di una curva regolare. -FORME DIFFERENZIALI LINEARI E INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE: Funzioni lineari su R^n. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale esatta. Condizione necessaria di esattezza. Criterio di esattezza. Forme differenziali chiuse. Relazione tra forme differenziali chiuse e forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse su insiemi aperti semplicemente connessi. -CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: Integrale doppio. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in un integrale doppio: coordinate polari. Baricentro di un dominio. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Integrale triplo. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza nel piano, formula di Stokes, formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. -EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Equazioni a variabili separabili, equazioni di tipo omogeneo. Proprietà dell’integrale generale di un’equazione lineare omogenea o completa e metodo risolutivo. Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e complete. Equazioni di Eulero.

Course Syllabus

-DIFFERENTIAL CALCULUS FOR MORE VARIABLES FUNCTIONS: Notes of topology in R^n. Distances on R^n. Internal , external and border points. Isolated points and accumulation points. Open and closed sets. Bounded sets. Compact and connected sets. Limit for a more variables real function. Necessary condition for limit’s existence. Continuity of a more variables real function. Continuity results. Partial derivatives, Schwarz’s theorem about mixed partial derivatives. Differentiable functions. Necessary condition for differentiability. Differential of a function. Relationship between continuity and differentiability. Relationship between partial derivatives and differentiability. Composite function. Theorem on existence of derivative of a composite function. Directional derivative. Theorem on existence of directional derivative. Physical applications of differential calculus. Theorem of the total differential. Lagrange’s Theorem. Theorem on null gradient functions. -RELATIVE AND ABSOLUTE MAXIMA AND MINIMA: Notes on quadratic forms on R^n. Relative extrema of a more variables real function. First order necessary condition. Second order necessary condition. Second order sufficient condition. Study of the nature of critical points. Finding relative and absolute extrema of a function. -REGULAR CURVES AND LINE INTEGRALS OF THE FIRST TYPE: Equivalent parametric representations, regular curves on R^n. Unit tangent and unit normal. Lenght of a curve. Curvilinear abscissa. Line integral of a function. Centroid of a regular curve. -DIFFERENTIAL FORMS AND LINE INTEGRALS OF THE SECOND TYPE: Differential forms on R^n. Line integral of a differential form. Exact differential forms. Primitive of an exact differential form.  Necessary condition for exactness. Sufficient and necessary condition for exactness. Closed differential forms. Relationship between closed and exact differential forms. Closed differential forms on simply connected open sets. -INTEGRATION OF FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES: Double integral. Change of variables in a double integral: polar coordinates. Centroid of a domain. Guldino’s theorem to find volume of a revolution solid. Triple integral. Change of variables in a triple integral: spherical and cylindrical coordinates. Green’s formula and consequences. -ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations of the first order in normal form: equations with separable variables, equations of homogeneous type. Properties of the general integral of a homogeneous or cmplete linear equation and resolutive method. Bernoulli equations. Resolution of some types of differential equations in non-normal form of the first and second order. Linear differential equations of order n with homogeneous and complete constant coefficients. Euler equations.