Obiettivi Formativi

Fornire agli studenti i metodi per lo studio e l'analisi delle principali strutture algebriche, quali gli spazi vettoriali e gli anelli di endomorfismi, e di quelle geometriche nel piano e nello spazio. L'insegnamento ha quindi lo scopo di fornire gli strumenti fondamentali dell'Algebra Lineare e della Geometria, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi. Far acquisire la capacità di applicare le conoscenze maturate in ambito della teoria degli operatori lineari al fine di identificare, formulare e risolvere problemi dell'ingegneria. Lo studente sarà in grado di utilizzare la teoria delle matrici per interpretare i dati, individuare appropriati metodi di modellazione e trarre conclusioni e sviluppa adeguate competenze, sui temi ed aspetti fondamentali della teoria delle matrici, con applicazioni allo studio degli operatori lineari e bilineari, al fine di affrontare lo studio di discipline ingegneristiche. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti all’algebra lineare anche attraverso l'integrazione delle conoscenze acquisite con appropriate indagini bibliografiche tali da consentire un confronto critico tra le diverse soluzioni possibili. Far acquisire la capacità di interloquire con linguaggio tecnico appropriato alla disciplina e di poter interagire sia con esperti del proprio o di altri settori ingegneristici che con interlocutori non specialisti, comunicando con un linguaggio matematico appropriato. Far acquisire il metodo di studio logico-deduttivo dell’algebra, al fine di sviluppare un grado di autonomia adeguato a consentire l'approfondimento delle conoscenze e ad affrontare ulteriori tematiche avanzate o settoriali.

Learning Goals

To give students a definitive and comprehensive set of 'tools' for studying geometric and algebraic structures, such as Vector spaces, Linear operators, 2-dimensional and 3-dimensional Geometric spaces. To make students able to develop skills in main topics of matrix theory in order to apply them to engineering sciences. To make students able to apply the foreground about linear operators theory, in order to establish and solve engineering problems. To provide knowledge on matrix theory to interpret the data and find suitable methods for mathematical modelling of engineering problems. To develop expertise about linear and bilinear operators that are tailored to the specific needs of critical engineering disciplines. To acquire the ability to autonomously identify the tools and data sources necessary for the analysis, understanding and solving problems related to the linear algebra, including bibliographic investigations, carried out in order to compare all possible solutions. To make students able to interact with experts and laymen in engineering sciences, by communicating through an appropriate mathematical language. Make students able to develop the logico-deductive method typical of algebra, in order to achieve a high degree of autonomy to approach subsequent studies.

Metodi didattici

La didattica è affidata alle tradizionali lezioni frontali in aula. Partendo dalle definizioni e le proprietà delle strutture algebriche di base e dell'algebra lineare, vengono fornite le dimostrazioni di alcuni tra i principali teoremi. Gran parte delle lezioni è dedicata allo svolgimento di esercizi esemplificativi svolti dal docente e preparatori alle prove intermedie e finale. Sono inoltre previste esercitazioni guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures in the classroom. During any class, few proofs of main theorems will be provided. The most part of classes will be devoted to exercises given by the teacher, in order to prepare for intermediate and final tests. There are also guided exercises with teacher support,with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Nozioni di base dell'algebra dei polinomi, di trigonometria e di geometria euclidea piana.

Prerequisites

Basic notions of algebra, trigonometry and Euclidean plane geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Il corso è suddiviso in tre parti: 1) Teoria delle matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari. 2) Operatori lineari, forme bilineari e loro forme canoniche 3) Applicazione dell’algebra lineare allo studio delle coniche nel piano, di rette e piani nello spazio e delle superfici quadriche. L'esame finale consiste in una prova scritta contenente domande a risposta aperta ed esercizi da risolvere. Lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito una buona capacità di ragionamento critico sullo studio realizzato e di saper utilizzare gli strumenti forniti durante ciascuna delle 3 parti in cui il corso è suddiviso. La valutazione della prova è espressa con un voto in trentesimi. L’esame si intende superato se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Al termine dello svolgimento di ognuna delle 3 parti in cui il corso è suddiviso, viene svolta una prova di verifica (facoltativa). Essa consiste in un esame scritto, nel quale lo studente dovrà rispondere a quesiti, sotto forma di esercizi da svolgere, attinenti agli argomenti trattati in aula e relativi alla parte di corso cui la prova fa riferimento. Ogni prova si intende superata se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Gli studenti che avranno superato le 3 prove intermedie saranno esonerati dalla prova scritta. Il voto finale sarà quindi la media aritmetica dei voti conseguiti singolarmente nelle prove intermedie superate. Tutte le prove intermedie sostenute hanno validità fino al termine dell’anno accademico in corso. Coloro che non avessero superato una (o più di una) delle prove intermedie, dovranno sostenere la prova scritta finale, in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami. Quest'ultima verterà su argomenti esclusivamente inerenti alla parte di programma relativa alla prova intermedia (o prove intermedie) precedentemente non superata (o non superate). In questo caso il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti separatamente in ciascuna delle prove (intermedie e finale) sostenute e superate. In ogni caso, ciascuno studente potrà decidere di non affrontare alcuna prova intermedia e sostenere solo la prova finale (in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami).

Assessment

Lectures are divided in three parts: 1) matrix theory, linear systems, vector spaces and linear transformations. 2) linear operators, bilinear forms and their canonical forms. 3) application of linear algebra to conics in 2-dimensional plane, lines and planes in 3-dimensional space, quadric surfaces. The final exam consists of a written test concerning the topics related to each of the 3 parts into which the course is divided and containing both open answer questions and exercises to be solved. The student must demonstrate that she/he has acquired good critical reasoning skills on the study conducted and knows how to use the tools provided during the course. The evaluation of the test is expressed with a score out of thirty. The minimum to pass the final exam is 18/30. At the end of each part of lectures, an ongoing (optional) exam will be carry out. Each ongoing exam consists of a written test, concerning the topics which relate exclusively to the corresponding part of lectures. The evaluation of any ongoing exam is expressed with a score out of thirty. The minimum to pass any ongoing exam is 18/30. Students who have passed the 3 ongoing exam will be exempted from the final written. In this case, the final grade is the arithmetic mean of the marks obtained in the three. All the ongoing exams taken are valid until the end of the current academic year. If one (or more than one) ongoing test were not passed, a final written exam should be carry out, concerning exclusively the topics related to the non-passed ongoing exam(s). Also in this case, the final grade is the arithmetic mean of the marks obtained in the ongoing and final tests. In any case, each student may choose not to take part in ongoing exams and partecipate directly to the final exam.

Programma del Corso

MATRICI: Operazioni tra matrici. Complemento algebrico e determinante. Teoremi di Laplace e Binet. Dipendenza ed indipendenza lineare tra le righe di una matrice. Rango di una matrice. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Matrici ridotte. Matrici invertibili. Matrici simili. SISTEMI LINEARI: Soluzione di un sistema lineare. Sistemi di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli. Metodo di risoluzione dei sistemi lineari. Algoritmo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. SPAZI VETTORIALI: Spazi vettoriali su di un campo. Sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Basi e dimensione. Cambiamento di base e matrici di transizione. APPLICAZIONI LINEARI: Nucleo ed Immagine. Iniettività e suriettività. Isomorfismi di spazi vettoriali. Matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita. Cambiamento di base nel dominio e nel codominio di una applicazione lineare. Immagine e retroimmagine di sottospazi vettoriali. OPERATORI LINEARI E FORME CANONICHE: Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autospazi e diagonalizzazione. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Forma canonica di Jordan di un endomorfismo non diagonalizzabile. Polinomio minimo e Teorema di Caley-Hamilton. FORME BILINEARI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE: Definizione di una forma bilineare. Forme bilineari simmetriche e matrici associate. Forme quadratiche reali e matrici associate. Cambiamento di base nel dominio di una forma quadratica (cambiamento ortogonale di variabili). Classificazione delle forme quadratiche reali. Forme definite positive. Espressione in forma canonica (diagonale) di una forma quadratica reale. VETTORI GEOMETRICI: Operazioni di somma tra vettori e di prodotto d in vettore ed uno scalare. Combinazioni lineari. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Proiezione di un vettore su una retta. Proiezione di un vettore su un piano. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE E NEL PIANO EUCLIDEO: Equazione della retta. Parametri direttori di una retta. Intersezione tra rette. Parallelismo tra rette. Coseni direttori di una retta. Angolo tra rette. Perpendicolarità tra rette. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Circonferenza e rette ad essa tangenti. Trasformazioni geometriche piane e cambiamento del sistema di riferimento. Definizione e classificazione delle coniche. Intersezione di una conica con una retta. Tangenti ad una conica. Coniche riducibili. Polarità rispetto ad una conica. Intersezione tra due coniche. Fasci di coniche. Diametri, centro, asintoti, assi di una conica. Forma ridotta dell'equazione di una conica. GEOMETRIA NELLO SPAZIO AFFINE E NELLO SPAZIO EUCLIDEO: Equazione di un piano. Intersezione tra due piani. Parallelismo tra piani. Fascio di piani. Intersezione tra tre piani, stella di piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo tra rette. Complanarità tra rette. Condizione di parallelismo tra una retta ed un piano. Coseni direttori di una retta. Angolo tra due rette. Rette ortogonali. Angoli tra due piani e tra una retta ed un piano. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da un piano e di un punto da una retta. Distanza tra rette sghembe. SUPERFICI QUADRICHE: Definizione e classificazione delle superfici quadriche. Ellissoide, Iperboloide, Paraboloide, Cono e Cilindro. Equazione di un piano tangente ad una quadrica. Quadriche riducibili (coppie di piani). Sezione tra quadriche e piani. Equazioni delle quadriche in forma canonica.

Course Syllabus

MATRICES: Operations with matrices. Minor and cofactor of an element. The determinant of a matrix. Laplace theorems and Binet theorem. Linear independence of row vectors. Elementary row operations. The rank of a matrix. The reduced row form of a matrix. Matrix inversion. Matrix similarity. LINEAR SYSTEMS: Solving linear systems. Cramer's rule for the solution of a system of linear equations. Rouchè-Capelli theorem. Gauss elimination for the solution of a system of linear equations. Homogeneous systems of linear equations. VECTOR SPACES: Operations with vectors. Subspaces. Linear independence of vectors. Intersection, sum and direct sum of subspaces. Basis and dimension of a vector space. Change of basis and transition matrix. LINEAR TRANSFORMATIONS: The Kernel and the Range of a Linear Transformation. Isomorphisms of vector spaces. The matrix of a linear transformation. The effect of change of basis for linear transformations. Image and preimage of a vector subspace. LINEAR OPERATORS AND CANONICAL FORMS: Eigenvalues and eigenvectors. Characteristic polynomial. Algebraic and geometric multiplicities of an eigenvalue. Eigenspaces. Diagonal canonical form of a matrix. Diagonalization of symmetric matrices. Jordan canonical form of a matrix. Minimal polynomial. Caley-Hamiton theorem. SYMMETRIC BILINEAR FORMS AND QUADRATIC FORMS: Basci definitions. The matrix of a symmetric bilinear form. Real quadratic forms and their associated matrices. The effect of change of basis for quadratic forms (orthogonal change of variables). Classification of quadratic forms. Positive definite quadratic Form. Reduction to canonical forms. GEOMETRIC VECTORS: Definition and operations with geometric vectors. Linear combination of vectors. Scalar, cross (vector) and scalar triple (mixed) products. Projection of a vector on a directed line. Projection of a vector onto a plane. 2-DIMENSIONAL AFFINE SPACE AND 2-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE: Equation of a line. Direction vector of a line. Intersection of lines. Parallel lines. Perpendicular lines. Angle between two lines. Distance of two points. Distance of two parallel lines. Minimal distance from a point to a line. Circumference. Tangent lines to one circumference. Geometric transformations and coordinate reference system change. Definition and classification of Conics. Intersection of conics and lines. Tangent lines to one conic. Polar line of a point. Intersection of conics. Diameters, center, asymptotes and axis of non-degenerate conics. Reduced equation of a non-degenerate conic. 3-DIMENSIONAL AFFINE SPACE AND 3-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE: Equation of a plane. Intersection of planes. Parallel planes. Sheafs and bundles of planes. Equations of a line. Parallel and perpendicular lines and planes. Coplanarity of two lines. Direction vector of a line, Angle between two lines. Angle between two planes. Angle between a line and a plane. Distanza of two points. Minimal distance from a point to a plane. Distance of two parallel planes. Minimal distance from a point to a line. Minimal distance of two skew lines. QUADRIC SURFACES: Definition and classification of quadric surfaces. Ellipsoid, Hyperboloid, Paraboloid, Cone and Cylinder. Reducible quadrics (pair of planes). Tangent plane to a quadric surface. Plane sections of quadrics. Canonical equations of quadrics.