Obiettivi Formativi

Fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali e vettoriali di più variabili reali, della teoria delle serie di funzioni e di semplici equazioni differenziali ordinarie. Far comprendere e assimilare le definizioni e i risultati principali sulla base di esempi ed esercizi. Far conoscere e comprendere metodologie e strumenti quali l’analisi di funzioni di più variabili e sue dirette applicazioni a problemi di ottimizzazione, anche per supportare la comprensione dei meccanismi matematici utilizzati negli altri corsi. Far acquisire la capacità di interpretare i problemi matematici la cui risoluzione è legata alla conoscenza del calcolo infinitesimale di più variabili, ottimizzazione e calcolo integrale stimolando la comprensione dei modelli e delle tecniche matematiche più adeguati per la descrizione di fenomeni naturali. Far acquisire la capacità di comunicare quanto appreso ed elaborato, esprimere e argomentare la scelta di una particolare metodologia per la risoluzione di un problema matematico. Far sviluppare la capacità di ragionamento necessaria per affrontare un nuovo problema e l’abilità di impostarne la soluzione, così come la precisione nell’organizzare il proprio lavoro e la capacità di verificare l’attendibilità dei risultati. Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo.

Learning Goals

Knowledge and comprehension of the basics of differential and integral calculus for the real and vector functions of several variables, function’s series theory and some notions on ordinary differential equations and their applications. Knowledge and comprehension of the definitions and the main results, based on examples and exercises. Make students able to understand and interpret mathematical problems whose resolution is linked to the knowledge of infinitesimal calculus of multiple variables, optimization and integral calculus. The notions acquired in the theoretical and application fields will allow the student to understand which mathematical models and techniques are most appropriate for the description of natural phenomena. Make students able to acquire the ability to communicate what has been learned and processed and also express and argue the choice of one methodology over another for solving a mathematical problem. The student will learn methodologies and tools such as: analysis of functions of multiple variables and its direct applications to optimization problems and will be able to understand the mathematical mechanisms used in the other courses. Make students able to acquire the logic ability necessary to deal with a new problem and the skill to plan the solution. At the same time he should have developed the precision in organizing his work and the ability to check the credibility of the results. The student will be able to communicate mathematical contents clearly enough and with precision, even outside a context exclusively applicative.

Metodi didattici

Lezione orale frontale (24 ore) ed esercitazioni con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria (24 ore).

Teaching Methods

Oral lessons (24 h) and exercises with applications to problems for engineering (24 h)

Prerequisiti

Sono considerate fondamentali le nozioni di funzione continua, funzione derivabile, integrale di una funzione continua e le nozioni base di algebra lineare.

Prerequisites

Knowledge of continuous function, derivable function, integral of a continuous function are considered fundamental as well as basic knowledge of linear algebra.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta lo studente deve risolvere alcuni esercizi, atti a dimostrare di aver acquisito e saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 16 punti su 30. Il superamento della prova scritta consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sulla prova scritta e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso, l'acquisizione del rigore metodologico e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che in ogni prova di verifica in itinere conseguono un punteggio pari o maggiore a 16/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario, il risultato delle prove in itinere sarà ritenuto valido per un anno accademico, entro il quale occorrerà completare l’esame sostenendo la prova orale. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Assessment

The exam consists of a written test and an oral test. In the written test the student must solve some exercises, for demonstrate that they have acquired and know how to use the tools provided during the course. To pass this test you must acquire at least 16 points out of 30. Passing the written test allows you to take the oral exam, which consists of a discussion on the written test and questions that tend to ascertain the theoretical knowledge of the course contents, the acquisition of methodological rigor and the ability to reason about topics related to the course. . During the course there are n. 2 intermediate verification tests. Each test is assigned an evaluation out of thirty. Students who achieve a score equal to or greater than 16/30 in each test will be able to take the oral exam during the sessions set by the calendar, the result of the ongoing tests will be considered valid for an academic year, within which it will be necessary to complete the exam by taking the oral test. Students who do not participate in the on-going tests can take the written test during the exams scheduled in the exam calendar of the Department of Engineering, the passing of which can replace the final written test. Each of the ongoing tests will be deemed passed with a minimum grade of 18/30. The exam will be considered passed if the average between written and oral.

Programma del Corso

Limiti e continuità in più variabili: Elementi di topologia in Rn - funzioni di più variabili: Calcolo differenziale in più variabili: derivate parziali - derivate direzionali – differenziale e funzioni differenziabili – teorema del differenziale totale – funzioni composte – teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz – differenziale secondo – matrice hessiana – derivazione funzioni vettoriali – matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili – condizioni sufficienti per la determinazione dei punti di estremo relativo - estremi vincolati – metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Curve ed integrali di linea: Curve regolari – lunghezza di una curva – ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione – forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. Equazioni differenziali: il problema di Cauchy - esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy - vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili, lineari, di Bernoulli - equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti – sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Successioni di funzioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme - teorema di continuità – teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale – teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata - serie di funzioni - convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale - teorema di continuità, di derivabilità e di integrabilità - serie di potenze – serie di Taylor Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi – domini normali – integrale di funzione limitata su domini normali – proprietà elementari dell’integrale doppio – calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione – cambiamento di variabili

Course Syllabus

Limits and continuity of function of several variables taking values in R or R^n. Directional derivatives. Differentiable functions. Tangent space. Differentiability and continuity. Gradient formula. The jacobian matrix. The chain rule. total derivative. Differentiability of C^1 functions. Implicit function theorem in two or more variables and with one or more constraints. Higher order derivatives. Schwartz theorem. Max and min, necessary and sufficient conditions. Lagrange method and multipliers. Curves and curve lenght. Tangent vector. Bounds critical points Lagrange multiplier rule. Maxima and minima in bounded regions regular curves arc length line integral differential forms. Curvilinear integrals of the first kind. Integration of vector fileds. Vector fields and differential forms. Gauss-green theorem. Stokes theorem and the divergence theorem. Conservative and irrotational vector fields. Condition for conservativity. Tecniques of integration: polar coordinate. Ordinary differential equations. Peano and Cauchy theorems. Linear equations and systems. Variation of constants formula. Linear first order differential equations with variable coefficients. Bernoulli equation. Linear systems and linear equations of the nth order with constant coefficients. Sequences function fundamental results on convergence functions series continuity, Derivability and integrability of series basic results on power series taylor series. Integral calculus for functions of several variables riemanns integral double and triple integrals change of variables formula for multiple integrals.