Obiettivi Formativi

Fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali e vettoriali di più variabili reali, della teoria delle serie di funzioni e di semplici equazioni differenziali ordinarie. Far comprendere e assimilare le definizioni e i risultati principali sulla base di esempi ed esercizi. Far conoscere e comprendere metodologie e strumenti quali l’analisi di funzioni di più variabili e sue dirette applicazioni a problemi di ottimizzazione, anche per supportare la comprensione dei meccanismi matematici utilizzati negli altri corsi. Far acquisire la capacità di interpretare i problemi matematici la cui risoluzione è legata alla conoscenza del calcolo infinitesimale di più variabili, ottimizzazione e calcolo integrale stimolando la comprensione dei modelli e delle tecniche matematiche più adeguati per la descrizione di fenomeni naturali. Far acquisire la capacità di comunicare quanto appreso ed elaborato, esprimere e argomentare la scelta di una particolare metodologia per la risoluzione di un problema matematico. Far sviluppare la capacità di ragionamento necessaria per affrontare un nuovo problema e l’abilità di impostarne la soluzione, così come la precisione nell’organizzare il proprio lavoro e la capacità di verificare l’attendibilità dei risultati. Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo.

Metodi didattici

Lezione orale frontale (24 ore) ed esercitazioni con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria (24 ore).

Prerequisiti

Sono considerate fondamentali le nozioni di funzione continua, funzione derivabile, integrale di una funzione continua e le nozioni base di algebra lineare.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta lo studente deve risolvere alcuni esercizi, atti a dimostrare di aver acquisito e saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 16 punti su 30. Il superamento della prova scritta consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sulla prova scritta e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso, l'acquisizione del rigore metodologico e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che in ogni prova di verifica in itinere conseguono un punteggio pari o maggiore a 16/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario, il risultato delle prove in itinere sarà ritenuto valido per un anno accademico, entro il quale occorrerà completare l’esame sostenendo la prova orale. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Programma del Corso

Limiti e continuità in più variabili: Elementi di topologia in Rn - funzioni di più variabili: Calcolo differenziale in più variabili: derivate parziali - derivate direzionali – differenziale e funzioni differenziabili – teorema del differenziale totale – funzioni composte – teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz – differenziale secondo – matrice hessiana – derivazione funzioni vettoriali – matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili – condizioni sufficienti per la determinazione dei punti di estremo relativo - estremi vincolati – metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Curve ed integrali di linea: Curve regolari – lunghezza di una curva – ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione – forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. Equazioni differenziali: il problema di Cauchy - esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy - vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili, lineari, di Bernoulli - equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti – sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Successioni di funzioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme - teorema di continuità – teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale – teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata - serie di funzioni - convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale - teorema di continuità, di derivabilità e di integrabilità - serie di potenze – serie di Taylor Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi – domini normali – integrale di funzione limitata su domini normali – proprietà elementari dell’integrale doppio – calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione – cambiamento di variabili