Obiettivi Formativi

Conoscenza dei principali argomenti di geometria proiettiva delle curve algebriche e introduzione alla geometria algebrica. Conoscenze delle forme bilineari e delle forme quadratiche, degli spazi affini, euclidei e proiettivi.

Learning Goals

Knowledge of the main topics of projective geometry of algebraic curves and introduction to algebraic geometry. Knowledge of bilinear forms and quadratic forms, affine, euclidean and projective spaces.

Metodi didattici

Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A -- Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B --

Teaching Methods

Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A -- Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B --

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria degli insiemi, algebra, analisi matematica. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Analisi I.

Prerequisites

Basic knowledge of set theory, algebra and mathematical analysis. Mastery of the topics covered in Geometry I and Analysis I courses.

Verifiche dell'apprendimento

Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A -- Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B --

Assessment

Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A -- Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B --

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A ------------------------------------------------------------ Spazi proiettivi. Richiami su spazi euclidei e affini, spazio proiettivo numerico Pn, coordinate omogenee di punti, riferimenti proiettivi, sottospazi proiettivi e operazioni con essi, formula di Grassmann proiettiva, equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi, ipersuperfici proiettive. Curve algebriche piane affini e proiettive. Ordine e supporto di una curva, curve irriducibili, ridotte e spezzate, punti semplici e punti singolari, molteplicità di un punto, curve lisce e singolari, intersezioni retta-curva, molteplicità di intersezione, cono tangente a una curva in un punto multiplo, studio della tangenza nell’origine, piano proiettivo e sue modellizzazioni, punti e rette improprie, chiusura proiettiva e proiezione affine, omogeneizzazione e deomogeneizzazione di curve, caratterizzazione dei punti singolari, lemma di Eulero, tangenze, asintoti, flessi e curva hessiana. Intersezioni di curve algebriche. Proiettività, lemma dei quattro punti, mappa proiezione, risultante di polinomi e matrice di Sylvester, forma debole e forma forte del teorema di Bézout e principali conseguenze, teorema dei 9 punti associati, struttura di gruppo abeliano per una cubica liscia piana proiettiva, isomorfismo di gruppi a punti fissi distinti, applicazioni ai flessi. Studio di una curva algebrica. Lemma di Study, componenti di una curva algebrica, finitezza dei punti singolari di curve ridotte, intersezioni di una curva con gli assi e la retta impropria, molteplicità e tangenti nell’origine e negli eventuali punti impropri fondamentali, regioni reali in cui giace la curva, punti doppi e tangenti principali, andamento locale di una curva nell’intorno di un suo punto semplice e doppio rispetto alle tangenti in esso, nodi ordinari e isolati, flecnodi e biflecnodi, punti doppi di natura cuspidale: cuspidi, tacnodi, oscnodi, curve osculatrici, cenni sui punti tripli e n-upli, stime del numero massimo di punti singolari di una curva irriducibile ridotta, funzioni razionali e curve razionali, genere di una curva, equazioni parametriche di una curva razionale e metodi per ricavarle: trigonometrico, curve aggiunte, inversione per raggi vettori reciproci, ulteriori determinazioni per la rappresentazione di una curva algebrica, studio di una curva razionale in forma parametrica, tracciatura del grafico di curve algebriche piane classiche.  Elementi di geometria algebrica. Divisori su curve lisce irriducibili, divisori tagliati, equivalenza lineare di divisori, teorema di Max Noether e relativo corollario, teorema del resto, sistemi lineari di curve e loro dimensione, serie lineari tagliate e non su una curva liscia, grado e dimensione di una serie lineare, serie lineari complete, teorema di Riemann, serie canoniche, divisori speciali, indice di specialità di una serie lineare, teorema di Riemann-Roch e sue conseguenze, serie lineari residue, punti base e divisori base, vari casi ed applicazioni. ------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B ------------------------------------------------------------ Applicazioni bilineari. Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche. Forma polare di una forma quadratica. Relazione di coniugio. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme quadratiche degeneri e loro caratterizzazione. Teorema della base coniugata. Forme bilineari e forme quadratiche reali. Disuguaglianza di Schwarz. Disuguaglianza di Minkowski. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica reale col metodo degli autovalori e col metodo di Gauss-Lagrange. Spazi vettoriali Euclidei. Prodotti scalari. Norma di un vettore. Basi ortonormali. Teorema di Carnot. Teorema di Pitagora. Teorema della proiezione. Spazio vettoriale Euclideo di dimensione tre. Prodotto vettoriale. Isometrie e similitudini di uno spazio vettoriale Euclideo. Spazi affini. Definizioni e prime proprietà. Varietà lineari affini. Giacitura e dimensione di una varietà lineare affine. Punti, rette, piani e iperpiani di uno spazio affine. Sottovarietà. Intersezione e congiunzione di varietà lineari affini. Parallelismo di varietà lineari affini. Riferimenti affini e formule del cambiamento. Equazione vettoriale, equazioni scalari ed equazioni cartesiane di una varietà lineare affine. Spazi affini euclidei. Angolo di due rette. Parametri e coseni direttori di una retta. Equazione vettoriale di un iperpiano. Distanza di un punto da un iperpiano. Equazione normale di un iperpiano. Angolo di due iperpiani. Parallelismo e ortogonalità di due iperpiani. Angolo fra una retta e un iperpiano. Parallelismo e ortogonalità di una retta con un iperpiano. Varietà lineari affini ortogonali. Applicazioni affini. Affinità. Il gruppo delle affinità. Il sottogruppo centroaffine. Traslazioni. Affinità di uno spazio affine Euclideo: movimenti Euclidei, congruenze, rotazioni, similitudini, omotetie, simmetrie centrali, simmetrie rispetto a una varietà lineare affine. Equazioni di una applicazione affine fra spazi affini di dimensioni finite. Equazioni di una affinità. Equazioni di una congruenza nel piano affine Euclideo. Richiami su spazi proiettivi. Varietà lineari proiettive. Intersezione e somma di varietà lineari proiettive. Applicazioni proiettive. Omografie o proiettività. Centro di una omografia. Varietà trasformata tramite omografia. Equazioni di una omografia. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Involuzioni di uno spazio proiettivo. Varietà lineari proiettive unite per omografie. Punti uniti di una omografia del piano proiettivo. Legge di Dedekind. Proiezione di una varietà lineare proiettiva su un'altra varietà. Birapporto di quattro punti di una retta proiettiva. Quaterne armoniche e loro caratterizzazione mediante il birapporto. Omografie di rette proiettive. Punti limite di una omografia di rette proiettive. Involuzione di una retta proiettiva e sue caratterizzazioni. Omografie iperboliche, paraboliche e loro equazioni canoniche. Omografie ellittiche. Omografie come composizione di involuzioni.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/4 - GEOMETRIA II MOD. A ------------------------------------------------------------ Projective spaces. Review of Euclidean, affine and projective spaces, the projective space Pn, omogeneous coordinates of points, projective Cartesian coordinate systems, projective subspaces and operations with them, projective Grassmann formula, analytical and parametric equations of subspaces, projective hypersurfaces. Affine and projective plane algebraic curves. Degree and support of a curve, irreducible, reduced and singular curves, simple points and singular points, multiplicity of a point, smooth and singular curves, straight line-curve intersections, intersection multiplicity, tangent cone to a curve at a multiple point, study of tangency at the origin point, projective plane and its modeling, points and straight lines at infinity, projective closure and affine projection, homogeneization and dehomogenization of curves, characterization of multiple points, Euler's lemma, tangent lines, asymptotes, flexes and Hessian curve. Intersections of algebraic curves. Projectivity, four points' lemma, projection map, resultant of polynomials and Sylvester matrix, weak and strong version of Bézout's theorem and main consequences, 9 associated points' theorem, Abelian group structure for a projective smooth plane cubic, group isomorphism with distinct fixed points, applications to flexes. Analytical study of an algebraic curve. Study's lemma, components of an algebraic curve, finiteness of singular points of reduced curves, intersections of a curve with axes and straight line at infinity, multiplicity and tangent lines at the origin point and in any fundamental point at infinity, regions of the real plane in which the curve lies, double points and main tangent lines, local behaviour of a curve near a simple point or a double point of it with respect to the tangent lines at it, ordinary and isolated nodes, flecnodes and biflecnodes, double points of cusp-type: cusps, tacnodes, oxnodes, eye curves, mention on triple and n-tuple points, estimating maximum number of singular points of a reduced irreducible curve, rational functions and rational curves, genus of a curve, parametric equations of a rational curve and methods for obtaining them: trigonometric, adjunct curves, reciprocal vector beams inversion, further steps for representing an algebraic curve, study of a rational curve given in a parametric form – Drawing classical algebraic plane curves. Introduction to Algebraic Geometry. Divisors on smooth irreducible curves, cutting divisors, linear equivalence of divisors, Max Noether's theorem and related corollary, remainder theorem, linear systems of curves and their dimension, linear series on a smooth curve, degree and dimension of a linear series, complete linear series, Riemann's theorem, canonical linear series, special divisors, linear series speciality index, Riemann-Roch's theorem and its consequences, residue linear series, base points and base divisors, different cases and applications.​​​​​​​ ------------------------------------------------------------ Modulo: 2900/5 - GEOMETRIA II MOD. B ------------------------------------------------------------ Bilinear applications. Bilinear forms. Symmetric bilinear forms. Quadratic forms. Polar form of a quadratic form. Conjugated vectors. Kernel of a symmetric bilinear form. Degenerate quadratic forms and their characterization. Conjugate basis theorem. Real bilinear and quadratic forms. Schwarz inequality. Minkowski inequality. Reduction to canonical form of a real quadratic form with the eigenvalue method and with the Gauss-Lagrange method. Euclidean vector spaces. Scalar products. Norm of a vector. Orthonormal bases. Carnot's theorem. Pythagoras theorem. Projection theorem. Euclidean vector space of dimension three. Vectorial Product. Isometries and similitudes of a Euclidean vector space. Affine spaces. Definitions and first properties. Affine linear varieties. Dimension of an affine linear variety. Points, lines, planes and hyperplanes of an affine space. Subvarieties. Intersection and conjunction of affine linear varieties. Parallelism of affine linear varieties. Affine reference systems and formulas for change. Vector equation, scalar equations and Cartesian equations of an affine linear variety. Affine Euclidean spaces. Angle of two straight lines. Director parameters of a line. Vector equation of a hyperplane. Distance of a point from a hyperplane. Normal equation of a hyperplane. Angle of two hyperplanes. Parallelism and orthogonality of two hyperplanes. Angle between a line and a hyperplane. Parallelism and orthogonality of a line with a hyperplane. Orthogonal affine linear varieties. Affine applications. Affinity. The affinity group. The Centroaffine subgroup. Affinity of an Euclidean affine space: Euclidean movements, congruences, rotations, similitudes, homoteties, central symmetries, symmetries with respect to an affine linear variety. Equations of an affine application between affine spaces of finite dimensions. Equations of an affinity. Equations of a congruence in the Euclidean affine plane. Recalls on projective spaces. Projective linear varieties. Intersection and sum of projective linear varieties. Projective applications. Homographs or projectivity. Center of a homography. Variety transformed by homography. Equations of a homography. Fundamental theorem of projective geometry. Involutions of a projective space. Projective linear varieties invariant for homographies. Invariant points of a homography of the projective plane. Dedekind's law. Projection of a linear projective variety onto another variety. Cross-ratios of four points of a projective line. Harmonic quaterne and their characterization by means of the cross-ratio. Projective lines. Limit points of a homography of projective lines. Involution of a projective line and its characterizations. Hyperbolic, parabolic homographies and their canonical equations. Elliptical homographies. Homographs as composition of involutions.