Programma del Corso
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Modulo: 5166 - CALCOLO, MODULO A
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FUNZIONI: Il campo dei numeri reali e proprietà. L'asse reale. Disequazioni. Funzioni ad una variabile reale, dominio, codominio. Grafico di una funzione. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. Funzioni pari, dispari. Funzioni monotone. Funzioni: valore assoluto, potenza, polinomiale, razionale, irrazionale, trigonometriche, esponenziale e logaritmica. Limiti e continuità di funzioni: limite finito, infinito. Operazioni sui limiti. Teorema di unicità del limite. Teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli. Continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo.
DIFFERENZIABILIA' : Derivata e sua interpretazione geometrica. Punti angolosi. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione e derivate delle funzioni composte. Derivate successive. Differenziale. Proprietà e teoremi delle funzioni derivabili in intervalli aperti. Concavità, convessità e punti di flesso. Ricerca dei punti di massimo e/o minimo relativo o di flesso. Formula di Taylor. Forme indeterminate e teoremi de l'Hôpital. Asintoti.
CALCOLO INTEGRALE: Integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni al calcolo delle aree. Integrale indefinito. Integrali elementari. Metodi di integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali impropri di funzione ad una variabile reale. Integrali impropri su intervalli infiniti, condizioni di integrabilità.
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Modulo: 5167 - CALCOLO, MODULO B
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FUNZIONI: Funzioni reali con due e più variabili, domini, grafici, curve di livello, limiti, continuità e derivabilità. Derivate parziali e derivate direzionali. Operatori differenziali: gradiente, divergenza e rotore di una funzione con due e più variabili. Matrice jacobiana. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine più elevati. Massimi e minimi, relativi, vincolati e assoluti.
INTEGRAZIONE MULTIPLA: Integrali doppi. Significato geometrico dell'integrale doppio. Proprietà degli integrali doppi. Calcolo di integrali doppi su domini normali. Cambio di variabili per integrali doppi: coordinate polari. Integrali doppi impropri.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari e non lineari. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. Forme differenziali esatte. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo e del secondo ordine.
Course Syllabus
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Modulo: 5166 - CALCOLO, MODULO A
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FUNCTIONS: The field of real numbers and properties. The real axis. Inequalities. Functions with a real variable, domain, codomain. Graph of a function. Operations between functions. Injective, surjective, invertible functions. Even, odd functions. Monotonous functions. Functions: absolute value, power, polynomial, rational, irrational, trigonometric, exponential and logarithmic. Limits and continuity of functions: Finite limit, infinite. Operations on limits. Theorem on the uniqueness of limit. Comparison theorems. Limits of monotonous functions. Remarkable limits. Continuity in one point. Continuity in an interval. Properties of continuous functions in a range.
DIFFERENZIABILITY: Derivative and its geometric interpretation. Derivatives of elementary functions. Derivation and derivative rules of compound functions. Higher order derivatives. Differential. Properties and theorems of derivable functions in open intervals. Concavity, convexity and flexed points. Search for points of maximum and minimum relative and/or absolute, flexed points. Taylor's formula. Indeterminate forms and theorems of De l'Hôpital. Asymptotes.
INTEGRAL CALCULUS: Definite integral. Integral of real function. Average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Applications to the calculation of areas. Indefinite integral. Elementary integrals. Integration methods for substitution and by parts. Integration of rational functions. Integrability conditions. Improper integrals on infinite intervals.
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Modulo: 5167 - CALCOLO, MODULO B
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FUNCTIONS: Real functions with two and more variables; domains, graphs, contour lines, limits, continuity and derivability. Partial derivatives and directional derivatives. Differential operators: gradient, divergence and rotor of a function with two and more variables. Jacobian matrix. Partial derivatives of higher order. Hessian matrix. Schwarz's theorem. Higher order differentials. Taylor's formula for functions with two and more variables. Maxima and minima, relative, constrained and absolute.
MULTIPLE INTEGRATION: Double integrals. Geometric meaning of the double integral. Properties of double integrals. Calculation of double integrals on normal domains. Change of variables for double integrals: polar coordinates. Improper double integrals.
DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations of the first order, linear and nonlinear. Ordinary second-order differential equations with constant, homogeneous and non-homogeneous coefficients. Exact differential forms. Introduction to partial differential equations. Cauchy problems for first and second order differential equations.