Obiettivi Formativi

Padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico (MATLAB&Simulink, Octave).

Learning Goals

Mastery in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment (MATLAB&Simulink, Octave).

Metodi didattici

​​​​​​​Ogni ora di lezione teorica è integrata da quattro ore di laboratorio assistito, per consentire l'implementazione degli algoritmi numerici studiati, la sperimentazione su differenti insiemi di dati e lo sviluppo di un'analisi critica dei risultati ottenuti. L’attività di laboratorio viene svolta mediante l’ambiente di sviluppo per il calcolo scientifico MATLAB&Simulink e i relativi Toolbox al fine di un rapido raggiungimento degli obiettivi del corso. ​​​​​​​L'implementazione degli algoritmi studiati e la loro sperimentazione con la relativa analisi dei risultati sono fondamentali per l’apprendimento della materia. Per cui gli studenti, divisi in gruppi formati da due o tre persone per favorire l’apprendimento di lavorare in team, devono presentare i progetti svolti, almeno uno per ogni grande capitolo del corso, per ottenere il giudizio di laboratorio necessario per l’ammissione all’esame finale, che è orale.

Teaching Methods

​​​​​​​Every hour of theoretical lesson is complemented by four hours of assisted laboratory, to allow the implementation of the studied numerical algorithms, experiments on different data sets and the development of critical analysis of the obtained results. The laboratory activity is carried out by means the development environment for the scientific computing MATLAB&Simulink and the related Toolboxes, in order to quickly achieve the course objectives. ​​​​​​​The implementation of the studied algorithms and their experimentation with the related analysis of the results are fundamental for learning the subject. So the students, divided into groups of two or three people to encourage learning to work in a team, must present the projects carried out, at least one for each major chapter of the course, to obtain the laboratory assessment necessary for admission to the final exam, which is oral.

Prerequisiti

Nozioni di base fornite dai corsi di: Matematica Discreta, Calcolo (Modulo A) e Programmazione

Prerequisites

Basic notions provided by courses inDiscrete Mathematics, Calculus (Module A), and Programming

Verifiche dell'apprendimento

​​​​​​​ Le verifiche dell'apprendimento si basano su il giudizio di laboratorio e sull’esame orale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio, che non è espressa con un voto in trentesimi, si ottiene svolgendo un esercizio, per ogni grande capitolo del corso. L’esercizio deve comprendere l’implementazione del metodo numerico e l’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati. Gli studenti, che durante il corso non hanno presentato alcun progetto entro la data prestabilita, il giorno dell’esame dovranno fare  una prova pratica di laboratorio, comprensiva dell’analisi dei risultati, prima di poter essere ammessi a sostenere l’orale. La buona qualità dell’attività di laboratorio viene tenuta in considerazione nella determinazione del voto finale. L’esame finale è orale.

Assessment

​​​​​​​ The learning tests are based on the laboratory assessment and the oral exam. Thereby: 1) the knowledge acquired by students on every single topic of the program is ascertained; 2) students' ability to apply the studied theory to particular problems is verified. The sufficiency threshold for the laboratory assessment, which is not expressed with a vote in thirtieths, is obtained by carrying out an exercise for each major chapter of the course. The exercise must include the implementation of the numerical method and the analysis of the results obtained from at least two different data sets. Students, who during the course did not submit any project by the established date, on the day of the exam will have to do a practical laboratory test, including the analysis of the results, before they can be admitted to take the oral exam. The good quality of the laboratory activity is taken into account in determining the final grade. The final exam is oral.

Programma del Corso

L’AMBIENTE DI SVILUPPO MATLAB&Simulink: Comandi MATLAB. Programmare in MATLAB. NUMERI FINITI E ERRORI: Teorema di rappresentazione dei numeri reali. Numeri finiti: l’insieme dei numeri di macchina. Precisione di macchina. Analisi degli errori. Stabilità degli algoritmi. Condizionamento dei problemi. Indici di condizionamento. Errori nelle operazioni aritmetiche con numeri finiti. Matrici e vettori. Norme vettoriali e matriciali più usate nelle applicazioni. SISTEMI LINEARI: METODI DIRETTI: Matrici e vettori. Operazioni sulle matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata. Norme vettoriali e matriciali. Sistemi lineari. Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Fattorizzazione di una matrice nel prodotto di due matrici triangolari. Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale. Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss. Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Stima dell'indice di condizionamento di una matrice (dimostrazione). Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan. Matrici simmetriche definite positive. Algoritmo di Cholesky. Matrici sparse. Risoluzione di un sistema tridiagonale. SISTEMI LINEARI: METODI ITERATIVI: Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocità di convergenza per i metodi iterativi. Condizioni di convergenza. Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo (dimostrazione). INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE DEI DATI: Formulazione del problema della ricostruzione di dati sperimentali. Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange. Differenze divise di una funzione. Polinomio di interpolazione: formula di Newton. Complessità computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale. Formula dell’errore nell’interpolazione polinomiale (dimostrazione). Il fenomeno di Runge. Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati e applicazione al problema del denoising di un segnale. INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura: formule di Newton-Cotes: formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Formule composite di Newton-Cotes. Errore nelle formule di Newton-Cotes.

Course Syllabus

THE MATLAB&Simulink ENVIRONMENT: MATLAB statements. Programming in MATLAB. FINITE NUMBERS AND ERRORS: Theorem of representation of real numbers. The set of floating-point numbers. Floating-point relative accuracy. Error analysis. Stability of algorithms. Condition number. Errors in arithmetic operations with floating-point numbers. Matrices and vectors. Matrix operations. Norms of vectors and matrices. LINEAR SYSTEMS: METHODS DIRECT: Linear systems. Factorization of a matrix. Gauss method. Computational cost of the algorithm of Gauss factorization. Stability of the factorization algorithms. Condition number of a matrix. Inversion of a matrix by means the Gauss-Jordan method. Symmetric positive definite matrices. Cholesky algorithm. Sparse matrices. Method for tridiagonal system. LINEAR SYSTEMS: ITERATIVE METHODS: Iterative methods for solving linear systems. Jacobi method. Gauss-Seidel method. Convergence for iterative methods. INTERPOLATION AND APPROXIMATION OF DATA: Formulation of the problem of reconstruction of experimental data. Polynomial interpolation: Lagrange's formula. Divided differences of a function. Polynomial Interpolation: Newton's formula. Computational cost of algorithms for polynomial interpolation. Runge's phenomenon. Polynomial interpolation error formula. NUMERICAL INTEGRATION: Quadrature formulas: Newton-Cotes formula. Trapezoid rule. Cavalieri-Simpson's rule. Composite Newton-Cotes rules. Error in Newton-Cotes formula.