Obiettivi Formativi

Il modulo si propone l'acquisizione delle conoscenze degli elementi di base dell'Algebra Lineare e le relative applicazioni alla Geometria. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Matrici e determinanti; Sistemi di equazioni Lineari; Spazi e sottospazi vettoriali; Applicazioni Lineari; Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo e di una matrice; Geometria analitica nel piano e nello spazio

Learning Goals

The discipline aims to provide knowledge of the basic elements of Linear Algebra and its applications to Geometry. In particular, the following topics are of fundamental importance: Matrices and determinants Systems of linear equations Vector spaces and subspaces Linear applications Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism and of a matrix Analytical geometry in the plane and in the space

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula (30 ore) ed esercitazioni in aula (24 ore) con uso di Lavagna. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Esercitazioni svolte dal docente e simulazioni di prove d’esame. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Teaching Methods

Lectures in the classroom (30 hours) and exercises in the classroom (24 hours) using Blackboard. The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons in the classroom with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. Eexercises given by the teacher and exam simulations.  Should teaching be carried out in mixed mode or remotely, it may be necessary to introduce changes with respect to previous statements, in line with the programme planned and outlined in the syllabus.  ​​​​​​​

Prerequisiti

I prerequisiti sono quelli richiesti dal CdL per l’accesso al corso di studio e verificati attraverso il test d’ingresso.

Prerequisites

The prerequisites are those required for the admission to the CdL and are verified through the corresponding test

Verifiche dell'apprendimento

​​​​​​​Due test intermedi per verificare il livello di apprendimento dello studente. Chi supera tutti i test può accedere direttamente all'orale. I test intermedi sono relativi agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente alla fine della parte di programma di Algebra Lineare e di quella di Geometria  (in date che verranno concordate durante le lezioni con gli studenti). Chi non ha superato tutti i test per accedere all'orale dovrà svolgere (e superare) un compito scritto (durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del CdL in Fisica) sugli argomenti relativi al test o ai test non superato/i. Il voto finale terrà conto, oltre che della prova orale, dei voti ottenuti nei test e nell'eventuale prova scritta. Il risultato dei due test e del compito scritto superati sarà ritenuto valido per un anno accademico entro il quale occorrerà completare l’esame sostenendo la prova orale durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del CdL in Fisica. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del CdL in Fisica. La prova scritta e ogni test si ritengono superati se la valutazione complessiva non è inferiore a 18/30. Durante i test e le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice. I test e la prova scritta prevedono lo svolgimento di esercizi su argomenti  del programma ed il loro livello di difficoltà  è pari a quello degli esercizi svolti durante il corso .

Assessment

Two ongoing written tests to verify the level of learning of the students . Those who pass all tests can go directly to the oral. The tests are related to the topics covered during the course and are held respectively at the end of the Linear Algebra part and the Geometry part (on dates that will be agreed upon during the lessons with the students). Who has not passed all tests to access to oral will have play (and pass) a written assignment (during the exams scheduled in the exam calendar of Degree course in Phisycs) on topics related to the test (or tests) not passed. The final vote will take into account, in addition to the oral test, the marks obtained in written tests. The result of the two passed tests  and the written assignment will be considered valid for an academic year within which it will be necessary to complete the exam by taking the oral test during the appeals foreseen by the exam calendar of the Degree course in Phisics. Students who do not participate in the on-going tests can take the written work during the exams scheduled in the exam calendar of the Degree course in Phisics.Each ongoing written tests is passed if the average is equal to, or greater than, 18/30. During the written assignment and ongoing written tests, it is permitted to use a calculator. The ongoing written tests and the written assignment involves exercises on the topics of the program and their difficulty level is equal to that of the exercises carried out during the course.

Programma del Corso

Strutture Algebriche. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Dipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Matrici invertibili. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi lineari omogenei. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Applicazioni lineari e matrici. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice. Enunciato Teorema Hamilton-Cayley. Cenni sulla Forma Canonica di Jordan. I vettori dello spazio geometrico. Rappresentazione di una retta. Intersezione di due rette e condizione di parallelismo. Fascio di rette. Angolo di due rette e condizione di ortogonalità. Distanze. Circonferenza. Luoghi geometrici: ellisse, iperbole, parabola. Cenni sulle Coniche. Rappresentazione di un piano. Intersezione di due piani e condizione di parallelismo. Fascio di piani. Stella di piani. Rappresentazione di una retta nello spazio. Condizioni di parallelismo. Angoli e distanze. Condizioni di ortogonalità. Sfera. Cenni sulle Quadriche​​​​​​​

Course Syllabus

Algebraic structures-Vector spaces. Vector subspaces. Linear dependence. Base of a vector space. Dimension of a vector space. Matrices. Operations on matrices. Determinant of a square matrix. Invertible matrices. Rank of a matrix. Linear systems. Homogeneous linear systems. Linear maps between vector spaces. Linear maps and matrices. Autovalues and autovectors of an endomorphism. Diagonizability of an endomorphism and of a matrix. Statement of the Hamilton-Cayley Theorem. Outline on Jordan Canonical Form. The vectors of the geometric space. Representation of a line. Intersection of two lines and parallelism condition. Sheaf of lines. Angle of two lines and condition of orthogonality. Distances. Circle. Geometric logos: ellipse, hyperbola, parabola. Outline on Conics. Representation of a plane. Intersection of two planes and parallelism condition. Sheaf of planes. Star of planes. Representation of a line in the space. Parallelism conditions. Angles and distances. Orthogonality conditions. Sphere. Circle in the space. Outline on Quadrics.