Obiettivi Formativi

Approfondimento delle conoscenze della teoria astratta della misura, della teoria astratta dell’integrazione, della teoria degli spazi L^p.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Saranno previste domande in aula per accertare la comprensione degli argomenti, verranno lasciati problemi di adeguata complessità da svolgere a casa con relative analisi e discussioni durante le lezioni successive.

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, spazi metrici, teoria della misura di Lebesgue ed elementi di base della teoria astratta della misura, teoria degli spazi normati.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale sugli argomenti trattati durante il corso. La valutazione terrà conto del grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio e la capacità di esporre gli argomenti trattati. Si cercherà di testare anche la capacità di ragionamento su semplici questioni teoriche per valutare il grado di assimilazione degli argomenti.

Programma del Corso

Spazi di Hilbert. La teoria astratta della misura. Funzioni di distribuzione e misure di Borel. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue: esempio di Vitali. Insieme di Cantor e funzione singolare di Lebesgue. Misure con segno. Funzioni numeriche misurabili. Integrazione in uno spazio di misura. Teorema di Beppo Levi. Integrazione rispetto ad una misura prodotto . Teoremi di Fubini-Tonelli. Gli spazi L^p. Duale topologico, riflessività e separabilità degli spazi L^p. Lemma di Fatou. Convergenza quasi-ovunque. Convergenza in media di ordine p. Teorema della convergenza dominata. Convergenza quasi-uniforme. Teorema di Severini-Egorov. Convergenza in misura. Misure con segno assolutamente continue rispetto ad una misura μ. Assoluta continuità nel senso di Vitali e nel senso di Caccioppoli. Teorema di Radon-Nykodym. Teorema di Vitali.