Obiettivi Formativi

Conoscenza degli algoritmi e dei metodi veloci per problemi di grafica assistita dal computer e per la ricostruzione di dati sperimentali in problemi applicativi del calcolo scientifico.

Learning Goals

Knowledge of the algorithms and fast methods to problems of computer-aided graphics and for the reconstruction of experimental data in application problems of scientific computing.

Metodi didattici

Ogni ora di lezione teorica è integrata da un’ora di laboratorio assistito, per consentire l'implementazione degli algoritmi numerici studiati, la sperimentazione su differenti insiemi di dati e lo sviluppo di un'analisi critica dei risultati ottenuti. L’attività di laboratorio viene svolta mediante l’ambiente di sviluppo per il calcolo scientifico MATLAB&Simulink e i relativi Toolbox al fine di un rapido raggiungimento degli obiettivi del corso. L'implementazione degli algoritmi studiati e la loro sperimentazione con la relativa analisi dei risultati sono fondamentali per l’apprendimento della materia. Per cui gli studenti, divisi in gruppi formati da due o tre persone per favorire l’apprendimento di lavorare in team, devono presentare i progetti svolti, almeno uno per ogni grande capitolo del corso, per ottenere il giudizio di laboratorio necessario per l’ammissione all’esame finale, che è orale.

Teaching Methods

Every hour of theoretical lesson is complemented by an hour of assisted laboratory, to allow the implementation of the studied numerical algorithms, experiments on different data sets and the development of critical analysis of the obtained results. The laboratory activity is carried out by means the development environment for the scientific computing MATLAB & Simulink and the related Toolboxes, in order to quickly achieve the course objectives. The implementation of the studied algorithms and their experimentation with the related analysis of the results are fundamental for learning the subject. So the students, divided into groups of two or three people to encourage learning to work in a team, must present the projects carried out, at least one for each major chapter of the course, to obtain the laboratory assessment necessary for admission to the final exam, which is oral.

Prerequisiti

Analisi matematica, geometria, analisi numerica e elementi di programmazione.

Prerequisites

Calculus, geometry, numerical analysis, and programming.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche dell'apprendimento si basano su il giudizio di laboratorio e sull’esame orale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio, che non è espressa con un voto in trentesimi, si ottiene svolgendo un esercizio, per ogni grande capitolo del corso. L’esercizio deve comprendere l’implementazione del metodo numerico e l’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati. Gli studenti, che durante il corso non hanno presentato alcun progetto entro la data prestabilita, il giorno dell’esame dovranno fare una prova pratica di laboratorio, comprensiva dell’analisi dei risultati, prima di poter essere ammessi a sostenere l’orale. La buona qualità dell’attività di laboratorio viene tenuta in considerazione nella determinazione del voto finale. L’esame finale è orale.

Assessment

The learning tests are based on the laboratory assessment and the oral exam. Thereby: 1) the knowledge acquired by students on every single topic of the program is ascertained; 2) students' ability to apply the studied theory to particular problems is verified. The sufficiency threshold for the laboratory assessment, which is not expressed with a vote in thirtieths, is obtained by carrying out an exercise for each major chapter of the course. The exercise must include the implementation of the numerical method and the analysis of the results obtained from at least two different data sets. Students, who during the course did not submit any project by the established date, on the day of the exam will have to do a practical laboratory test, including the analysis of the results, before they can be admitted to take the oral exam. The good quality of the laboratory activity is taken into account in determining the final grade. The final exam is oral.

Programma del Corso

FUNZIONI SPLINE: Funzioni polinomiali a tratti. Spline polinomiali a nodi semplici. Spline polinomiali a nodi multipli. La base delle B-spline e proprietà. Algoritmi per la valutazione di funzioni spline. Derivate delle funzioni spline. Polinomi di Bernstein-Bezier. Conversione di base. Algoritmi geometrici: Knot-Insertion, Subdivision, Kont-Removal, Degree Elevation. Spline approssimante di forma. Interpretazione geometrica dei coefficienti di una spline. Funzioni spline di interpolazione. Interpolazione con le spline cubiche alla Lagrange. Interpolazione con le spline cubiche alla Hermite. Spline cubica di interpolazione periodica. Funzione spline di approssimazione. Approssimazione ai minimi quadrati. CURVE SPLINE: Curve in forma parametrica. Curve spline approssimanti di forma. Curve spline di interpolazione. Curve spline di approssimazione. Invarianza dell’interpolazione e dell’approssimazione per trasformazioni geometriche. FUNZIONI NURBS (Non Uniform Rational B-Spline): Funzioni razionali e NURBS. Definizione geometrica di NURBS. La base delle B-spline razionali. Derivate delle funzioni NURBS. Algoritmi geometrici: Knot-Insertion, Degree Elevation. CURVE NURBS: Definizioni analitica e geometrica di una curva NURBS. Algoritmi geometrici: Knot-Insertion, Knot-Insertion Inversa, Knot-Removal. Curve NURBS approssimanti di forma. Significato geometrico dei pesi. Algoritmi di Modifica di forma. SUPERFICI SPLINE E NURBS: Funzioni scalari spline in due variabili. Interpolazione con funzioni prodotto tensoriale sui punti di una griglia. Funzione spline vettoriali in due variabili. Funzioni NURBS scalari e vettoriali in due variabili. Superfici di Rotazione. Interpolazione e approssimazione di una griglia di punti.

Course Syllabus

SPLINE FUNCTIONS: Piece-wise polynomial functions. Polynomial splines with simple knots. Polynomial splines with knots with multiplicity. The basis of B-splines and properties. Algorithms for the evaluation of spline functions. Derivatives of spline functions. Bernstein-Bezier polynomials. Basic conversion. Geometric algorithms: Knot-Insertion, Subdivision, Knot-Removal, Degree Elevation. Spline of shape approximation. Geometric interpretation of the coefficients of a spline. Interpolation spline functions. Cubic spline of Interpolation like Lagrange. Cubic spline of Interpolation like Hermite. Cubic spline of periodic interpolation. Function Spline of approximation. Least squares approximation method. SPLINE CURVES: Curves in parametric form. Spline curves of shape approximation. Spline curves of interpolation. Spline curves of approximation. Interpolation and approximation invariant for geometric transformations. NURBS (Non Uniform Rational B-Spline) FUNCTIONS: Rational functions and NURBS. Geometric definition of NURBS. The basis of rational B-splines. Derivatives of NURBS functions. Geometric algorithms: Knot-Insertion, Degree Elevation. NURBS CURVES: Analytical and geometric definition of a NURBS curve. Geometric algorithms: Knot-Insertion, Inverse Knot-Insertion, Knot-Removal. Curve NURBS of shape approximation. Geometric meaning of weights. Shape modification algorithms. SPLINE AND NURBS SURFACES: Scalar spline functions in two variables. Interpolation with tensor product functions on the points of a grid. Vector spline function in two variables. Scalar and vector NURBS functions in two variables. Rotation surfaces. Interpolation and approximation of a grid of points.