Obiettivi Formativi

Acquisizione degli strumenti e dei risultati fondamentali della teoria degli operatori compatti e dei metodi variazionali con applicazioni alle equazioni differenziali.

Learning Goals

Acquisition of the fundamental notions and results of compact operator theory and of variational methods with applications to differential equations.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Saranno previste domande in aula per accertare la comprensione degli argomenti, verranno lasciati problemi di adeguata complessità da svolgere a casa con relative analisi e discussioni durante le lezioni successive.

Teaching Methods

Lectures and tutorials. Questions will be asked to the students in order to test the understanding of the topics, adequate problems will be left as homework and the discussion of them will take place during subsequent lessons.

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue, teoria degli spazi normati, equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

Prerequisites

Knowledge of calculus with particular reference to: sequences and series of functions, general topology, Lebesgue measure and integration theory, normed spaces theory, ordinary and partial differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale sugli argomenti trattati durante il corso. La valutazione terrà conto del grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio e la capacità di esporre gli argomenti trattati. Si cercherà di testare anche la capacità di ragionamento su semplici questioni teoriche per valutare il grado di assimilazione degli argomenti.

Assessment

Oral examination on the topics treated during the course. The final rating will take into account the level of preparation, the language skills and the ability to present the topics. We will also try to test the reasoning skills on simple theoretocal questions to evaluate the level of assimilation of the arguments.

Programma del Corso

-Disequazioni variazionali: teorema di Stampacchia, teorema di Lax-Milgram, applicazioni. -Operatori compatti e decomposizione spettrale: aggiunto di un operatore, operatori compatti, teorema di Schauder sull’operatore aggiunto, la teoria di Riesz-Fredholm, spettro di un operatore compatto, operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert, operatori simmetrici, decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert. -Il teorema di Hille-Yosida: lemma di Gronwall, teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard, operatori massimali monotoni, risolvente e regolarizzata Yosida di un operatore massimale monotono, teorema di Hille-Yosida, autoaggiunto di un operatore non limitato su uno spazio di Hilbert. -Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti: derivabilità del senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet, spazio di Sobolev W^1,p(]a,b[), teorema di immersione, spazio W_0^1,p(]a,b[), disuguaglianza di Poincaré, studio di un problema ordinario ai limiti del secondo ordine, spazi di Sobolev W^1,p e W_0^1,p in dimensione n, immersioni, operatore p-laplaciano, studio di un problema di Dirichlet coinvolgente il p-laplaciano.

Course Syllabus

-Variational inequalities: Stampacchia's theorem, Lax-Milgram theorem, applications. -Compact operators and spectral decomposition: adjoint of an operator, compact operators, Schauder's theorem on the adjoint operator, the Riesz-Fredholm theory, spectrum of a compact operator, self-adjoint linear operators on Hilbert spaces, symmetric operators, spectral decomposition of compact self-adjoint operators on Hilbert spaces. -The Hille-Yosida theorem: Gronwall's lemma, Cauchy-Lipschitz-Picard theorem, maximal monotone operators, resolvent and Yosida regularization of a maximal monotone operator, Hille-Yosida theorem, self-adjoint of an unbounded linear operator on a Hilbert space. -Sobolev spaces and variational formulation of boundary value problems: Gâteaux and Fréchet derivative, Sobolev space W^1,p(]a,b[), immersion theorem, space W_0^1,p(]a,b[), Poincaré inequality, study of an ordinary second order boundary value problem, n dimensional Sobolev space W^1,p and W_0^1,p, immersions, p-laplacian operator, study of a Dirichlet problem involving p-laplacian operator.