Obiettivi Formativi

Conoscenza del calcolo differenziale per funzioni reali definite in spazi di Banach e metodi variazionali per problemi differenziali non lineari (teorema dei metodi diretti, del passo di montagna; problemi di Dirichlet e Neumann per equazioni di tipo ellittico).

Learning Goals

Knowledge of differential calculus for real functions defined in Banach spaces and variational methods for nonlinear differential problems (direct methods theorem, mountain pass theorem, Dirichlet and Neumann problems for elliptical differential equations).

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

Prerequisites

Knowledge of differential and integral calculus for real functions of real variable or multiple variables, ordinary differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova orale. Durante il corso lo studente può svolgere un seminario opzionale per verificare il suo stato di apprendimento.

Assessment

The final exam consists of an oral test. During the course the student can carry out an optional seminar to check his learning status.

Programma del Corso

Calcolo differenziale per funzionali reali in spazi di Banach. La derivata secondo Gâteaux e secondo Frechét. Elementi di Analisi non-smooth. Gradiente generalizzato. Il teorema dei metodi diretti. Applicazioni del teorema dei metodi diretti a problemi differenziali. Il teorema di minimo locale come conseguenza del teorema dei metodi diretti. Applicazioni a problemi differenziali. Il principio variazionale di Ekeland. La condizione di Palais-Smale. Il teorema di minimo globale con la (PS)-condizione. Funzioni localmente lipschitziane. Punti critici generalizzati.  Il teorema di minimo locale con la condizione debole di Palais-Smale. Il teorema di Ambrosetti-Rabinowitz. Il lemma sullo pseudo-gradiente e la dimostrazione del teorema mediante il principio variazionale di Ekeland. Il teorema di Ghoussoub-Preiss. Il teorema dei due punti critici non nulli. Il teorema dei tre punti critici.  Problemi differenziali non lineari ordinari del secondo ordine. Problemi differenziali non lineari di tipo ellittico. Teoremi di esistenza di soluzioni non nulle.

Course Syllabus

Differential calculus for real functionals in Banach spaces.  Gâteaux and Frechét derivative. Elements of non-smooth analysis. Generalized gradient. The direct methods theorem. Applications of the direct method theorem to differential problems. The local minimum theorem as a consequence of the direct methods theorem. Applications to differential problems. Ekeland's variational principle. The condition of Palais-Smale. The local  minimum theorem with the (PS) -condition. Locally Lipschitz functions. Generalized critical points. The local minimum theorem with the Palais-Smale weak condition. The Ambrosetti-Rabinowitz theorem. The lemma on the pseudo-gradient and the proof of the theorem by  Ekeland's variational principle. The Ghoussoub-Preiss theorem. The non-zero critical point theorem. The three critical points theorem.  Second order ordinary nonlinear differential problems. Nonlinear elliptic differential problems. Existence theorems of non-zero solutions.