Obiettivi Formativi

Comprensione dei principali strumenti matematici, locali e globali, analitici e geometrici, necessari allo studio dei modelli meccanici e biologici descritti da equazioni e sistemi differenziali ordinari. Studio dei principali modelli di evoluzione di una o più popolazioni interagenti, sia nell'ambito discreto che nel continuo. Modellizzazione di fenomeni fisici,biologici e medici.

Learning Goals

Understanding of key mathematical tools, local and global, analytical and geometric necessary for the study of the mechanical and biological models described by ordinary differential equations and systems. Study of the major patterns of evolution of one or more interacting populations, both in a discrete and continuous. Modelization of physical, biological and medical.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula  con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.  

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected training objectives, takes place mainly through lectures. Classroom exercises are also provided with the aim of stimulating an autonomous and critical approach to problems.

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti quelli forniti dai corsi di base della Laurea triennale in matematica

Prerequisites

The prerequisites those provided by the courses of the degree in mathematics

Verifiche dell'apprendimento

L'esame, orale, è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso. Inoltre,  viene completato con la discussione di un articolo scientifico, scelto tra quelli suggeriti dal docente, il cui argomento rientra tra le tematiche  contenute nel programma svolto. L'esame è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi: livello di conoscenza degli argomenti teorici e capacità di impostare e risolvere problemi. Il voto finale è espresso in trentesimi.

Assessment

The oral exam focuses on the topics covered during the course. Furthermore, it is completed with the discussion of a scientific article, chosen from those suggested by the teacher, whose topic falls within the topics contained in the program. The exam is aimed at verifying the degree of achievement of the training objectives: level of knowledge of theoretical topics and ability to set up and solve problems. The final grade is expressed out of thirty.

Programma del Corso

MODELLI PER UNA SINGOLA SPECIE. Modelli di popolazione continua. Crescita esponenziale Modello logistico. Effetto Allee. Equazione logistica in epidemiologia. Modelli di popolazione con prelievo (harvesting). Modelli di popolazione discreti. Modelli lineari. Analisi dell’equilibrio. Modelli continui e discreti con ritardo. MODELLI CONTINUI PER POPOLAZIONI INTERAGENTI. Equazione di Lotka-Volterra. Equilibri e linearizzazione. Comportamento qualitativo delle soluzioni nei sistemi lineari. Soluzioni periodiche e cicli limite. Modelli continui per due popolazioni interagenti. Specie in competizione. Sistemi preda-predatore. Modelli di Kolmogorov. Mutualismo. Interazione tra specie. Specie invadenti e coesistenza. Modelli per due specie con prelievo. Modelli di ecosistemi chiusi. MODELLI DI POPOLAZIONI CON STRUTTURA. Modelli discreti lineari. Modelli continui lineari. Modelli di popolazioni strutturate per età. MODELLI DI TRASMISSIONE DELLE MALATTIE. Modello delle epidemie. Modelli più complicati delle epidemie (modelli con trattamento, modello dell’influenza, modello con isolamento e quarantena). Modelli per malattie endemiche. Un modello per malattie senza immunità (SI). Modello con immunità temporanea (SI(R)). AIDS: Modello di trasmissione del virus HIV. Modello con ritardo per l’infezione HIV con terapia farmacologica.

Course Syllabus

MODELS FOR A SINGLE SPECIES. Continuous population patterns. Exponential growth Logistic model. Allee effect. Logistic equation in epidemiology. Population models with collection (harvesting). Discrete population models. Linear models. Balance analysis. Continuous and discrete models with delay. CONTINUOUS MODELS FOR INTERACTIVE POPULATIONS. Lotka-Volterra equation. Equilibrium and linearization. Qualitative behavior of solutions in linear systems. Periodic solutions and limit cycles. Continuous models for two interacting populations. Species in competition. Prey-predator systems. Kolmogorov models. Mutualismo. Interaction between species. Invasive species and coexistence. Models for two species with withdrawal. Models of closed ecosystems. MODELS OF POPULATIONS WITH STRUCTURE. Discrete linear models. Linear continuous models. Patterns of populations structured by age. MODELS OF TRANSMISSION OF DISEASES. Model of epidemics. More complicated patterns of epidemics (treatment models, influenza model, isolation and quarantine model). Models for endemic diseases. A model for diseases without immunity (SI). Model with temporary immunity (SI (R)). AIDS: Model of transmission of HIV. Model with delay for HIV infection with drug therapy.