Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è la conoscenza critica dei contenuti e dei metodi dell'algebra moderna: argomenti e metodi di algebra commutativa, classi di ideali su anelli commutativi, anelli commutativi particolari ed applicazioni.

Learning Goals

The aim of the course is the critical knowledge of the content and methods of modern algebra: topics and methods of commutative algebra, classes of ideals over commutative rings, special commutative rings and applications.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Le attività potranno anche essere eventualmente erogate in modalità blended e-learning. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge sia attraverso lezioni frontali che esercitazioni con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Supporti alla didattica: Dispense complete del corso fornite dal docente

Teaching Methods

Lectures and exercises sessions. The activities may also be optionally provided in blended e-learning mode. The course, in order to achieve the expected objectives takes place through lectures and exercises in the classroom with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. Auxiliary teaching: Complete lecture notes provided by the teacher.

Prerequisiti

Si richiedono i contenuti dei corsi di Algebra I e Algebra II.

Prerequisites

The contents of the courses "Algebra I" and "Algebra II" are required.

Verifiche dell'apprendimento

Esame finale orale per verificare il grado di preparazione raggiunto, la proprietà di linguaggio rispetto agli argomenti trattati e la capacità espositiva.

Assessment

In the final oral examination the degree of preparation, the property of language with respect to the topics covered and the expository capacity will be assessed.

Programma del Corso

Ideali in anelli commutativi: Operazioni tra ideali. Ideali primi, massimali, primari, irriducibili. Radicale. Nilradicale. Radicale di Jacobson. Lemma di Nakayama e sue conseguenze. Decomposizione primaria: Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di un ideale. Teoremi di unicità per le decomposizioni primarie minimali di un ideale. Decomposizione primaria in un anello noetheriano. Teorema di unicità per la decomposizione primaria minimale di un ideale in un anello noetheriano. Teorema di Lasker-Noether. Teoria della dimensione: Richiami sulla localizzazione di un anello. Altezza di un ideale. Dimensione di Krull di un anello. Teorema dell’ideale principale di Krull. Dimensione di immersione di un anello. Anelli locali regolari. Successioni regolari. Profondità di un ideale. Applicazioni: Anelli noetheriani e artiniani. Ideali monomiali (primi, massimali, irriducibili). Operazioni tra ideali monomiali. Radicale di un ideale monomiale. Decomposizione primaria di ideali monomiali. Uso del software open source Macaulay2

Course Syllabus

Ideals in commutative rings: Operations on ideals. Prime, maximal, irriducible, primary ideals. Radical, Nilradical, Jacobson Radical. Nakayama Lemma and its consequences. Primary decomposition: Primary decompositions and minimal primary decompositions of an ideal. Uniqueness theorems for an ideal having a minimal primary decomposition. Primary decomposition in noetherian rings. Uniqueness theorem for a primary decomposition in a noetherian ring. Dimension theory: Recalls on the localization of a ring. Height of an ideal. Krull dimension of a ring. Krull's principal ideal theorem. Embending dimension of a ring. Regular local ring. Regular sequences. Depth of an ideal. Applications: Noetherian and Artian rings. . Monomial ideals (prime, maximal, irriducible). Primary decomposition of monomial ideals. Use of the open source CAS Macaulay2.