Obiettivi Formativi

Il corso si pone come obiettivo quello di: Fare acquisire agli studenti un’adeguata conoscenza e comprensione di alcuni elementi di base dell’Analisi Matematica relativi alle funzioni di una variabile che risultano fondamentali per le scienze ingegneristiche e per le loro realtà applicative; fare sviluppare la capacità di applicare in maniera autonoma le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi anche complessi; fare ottenere autonomia di giudizio al fine di utilizzare, in modo critico, gli strumenti di calcolo studiati, come ad esempio, il calcolo differenziale e il calcolo integrale, i numeri complessi oltreché le successioni e le serie numeriche; Far acquisire un’appropriata abilità di comunicazione attraverso l’uso di un linguaggio scientifico rigoroso, al fine di sostenere argomentazioni teoriche su temi applicativi; Far sviluppare le abilità di apprendimento necessarie sia per affrontare gli studi successivi sia per inserirsi, in futuro, in diversi contesti lavorativi, possedendo un alto grado di autonomia ed un bagaglio culturale tale che gli consenta di avere le capacità di adattarsi e aggiornarsi continuamente

Learning Goals

The course aims: To allow students to acquire adequate knowledge and understanding of some basic elements of the Mathematical Analysis relating to the functions of one variable that are fundamental for the engineering sciences and for their application realities.; to develop the ability to independently apply theoretical notions to set up, analyze and solve even complex problems; to obtain independent judgment in order to critically use the calculation tools studied, such as, for example, differential and integral calculations, complex numbers as well as sequences and numerical series; to acquire an appropriate communication skill through the use of rigorous scientific language, in order to support theoretical arguments on application themes; to develop the learning skills necessary both to face the subsequent studies and to fit, in the future, in different working contexts, possessing a high degree of autonomy and a cultural background that allows him to have the ability to adapt and update continuously.

Metodi didattici

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A Il corso consiste di lezioni frontali ed esercitazioni Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B Il corso consiste di lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A The course consists of lectures and exercises. Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B The course consists of lectures and exercises.

Prerequisiti

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori.

Prerequisites

Basic preparation provided by high school

Verifiche dell'apprendimento

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. Le prove sono relative agli argomenti del corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (date che vengono concordate con gli studenti). La prima prova in itinere (relativa al modulo A) prevede lo svolgimento di esercizi sui seguenti argomenti: disequazioni numeriche, successioni numeriche e ricerca del domino di funzioni reali in una variabile reale, numeri complessi, serie numeriche. La seconda prova in itinere (Relativa al Modulo B) verte sullo studio di funzione e la risoluzione di integrali indefiniti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. Gli studenti che nelle due prove di verifica in itinere o nella prova scritta conseguono un punteggio medio pari o maggiore a 15/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Il colloquio orale è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso e la valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili alla pagina Moodle del corso. Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. Le prove sono relative agli argomenti del corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (date che vengono concordate con gli studenti). La prima prova in itinere (relativa al modulo A) prevede lo svolgimento di esercizi sui seguenti argomenti: disequazioni numeriche, successioni numeriche e ricerca del domino di funzioni reali in una variabile reale, numeri complessi, serie numeriche. La seconda prova in itinere (Relativa al Modulo B) verte sullo studio di funzione e la risoluzione di integrali indefiniti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. Gli studenti che nelle due prove di verifica in itinere o nella prova scritta conseguono un punteggio medio pari o maggiore a 15/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Il colloquio orale è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso e la valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili alla pagina Moodle del corso.

Assessment

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A During the course there are two written tests. The two tests take place respectively in the periods of November and January (dates agreed with the students). The first test (Modul A) involves performing exercises on the following topics: numerical inequalities, numerical sequences, complex numbers, numerical series and domain of real functions in a real variable. The second ongoing test (Mod B) focuses on the study of function and on the calculation of indefinite integrals. Each test is assigned a score from 0 to 30. Students who do not take part in the two tests can take the written test during the exam sessions provided by the Department of Engineering. Students who obtain an average score of 15 or more in the two assessment tests during the course or in the written test will be able to take the oral exam during the exam sessions established in the calendar. The oral exam focuses on the topics covered during the course and the assessment takes into account the knowledge acquired, the ability to apply the concepts studied and exposure with scientific language. The exam is passed if the average score between the written and oral part is equal to or higher than 18 out of 30. More details are available on the Moodle page of the course. Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B During the course there are two written tests. The two tests take place respectively in the periods of November and January (dates agreed with the students). The first test (Modul A) involves performing exercises on the following topics: numerical inequalities, numerical sequences, complex numbers, numerical series and domain of real functions in a real variable. The second ongoing test (Mod B) focuses on the study of function and on the calculation of indefinite integrals. Each test is assigned a score from 0 to 30. Students who do not take part in the two tests can take the written test during the exam sessions provided by the Department of Engineering. Students who obtain an average score of 15 or more in the two assessment tests during the course or in the written test will be able to take the oral exam during the exam sessions established in the calendar. The oral exam focuses on the topics covered during the course and the assessment takes into account the knowledge acquired, the ability to apply the concepts studied and exposure with scientific language. The exam is passed if the average score between the written and oral part is equal to or higher than 18 out of 30. More details are available on the Moodle page of the course.

Programma del Corso

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A MODULO A Insiemi numerici e funzioni: Numeri reali, assioma di completezza, funzioni, dominio e codominio di una funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biettiva, funzioni composte, funzione inversa, topologia della retta reale, funzioni monotone, funzioni limitate, grafico di funzioni elementari. Numeri complessi: Definizione di numero complesso, Rappresentazione algebrica e trigonometrica , Potenza di un numero complesso , Radice n-sima di un numero complesso , Risoluzione di equazioni in campo complesso. Successioni numeriche, successioni monotone limiti di successione, teorema di unicità del limite, algebra dei limiti, teorema del confronto, teorema sulle successioni monotone, successioni estratte, teorema di Bolzano-Weierstrass. Serie numeriche: Carattere di una serie, Serie geometrica, Serie di Mengoli, Serie armonica, Serie armonica generalizzata, Condizione necessaria per la convergenza, Serie a termini non negativi, Criterio del confronto, del rapporto, della radice, Serie a termini di segno alterno, Criterio di Leibniz , Serie assolutamente convergenti. Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B Limiti di funzione: Limiti notevoli, Gerarchia degli infiniti, confronto fra infiniti, principio di sostituzione degli infiniti, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, algebra dei limiti, tecniche per il calcolo dei limiti. Funzioni continue: algebra della continuità, teorema di continuità delle funzioni composte, punti di discontinuità, teorema dell'esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema su funzioni inverse. Calcolo differenziale per funzioni reali a valori reali, derivata, retta tangente, algebra delle derivate, teorema derivabilità continuità, punti di non derivabilità, teorema di derivazione delle funzioni composta, teorema di derivazione delle funzioni inverse, definizione di punto critico, massimi e minimi relativi , teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, conseguenze al teorema di Lagrange, studio di funzione, teorema di Cauchy, teorema di De l'hopital , funzioni concave e convesse, derivate successive. Calcolo integrale: primitiva di una funzione, integrale indefinito, integrali elementari, tecniche di integrazione, integrazione di funzioni composte, integrazione per parti, integrale secondo Riemann, proprietà dell'integrale, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale, Calcolo di aree, Integrali impropri, Criteri di convergenza. Cenni sulla equazioni differenziali ordinarie.

Course Syllabus

Modulo: 3322 - ANALISI MATEMATICA MOD. A Modulo A Numerical sets - real numbers - axiom of completeness-functions-domain and codomain of an injective, surjective and bjective function-function-composite functions-inverse function-topology of the real line-monotonic functions -bounded functions of elementary functions. Complex numbers Definition of complex number - Algebraic and trigonometric representation - Power of a complex number - N-th roots of a complex number - Roots of an algebraic equation -Numeric sequences-monotone sequences- limits - uniqueness - comparison theorem -theorem on monotone sequences - extracted sequences or sub-sequences-Bolzano-Weierstrass theorem. Numerical series, Character of a series - Geometric series - Series of MENGOLI - Harmonic series - Generalized harmonic series - necessary condition for the convergence - Series with non-negative terms - Criterion of comparison, Series with terms of alternate sign - LEIBNIZ criterion - Absolutely convergent series Modulo: 3323 - ANALISI MATEMATICA MOD. B Function limits - hierarchy of infinitives - comparison between infinitives - principle of substitution of the infinite – theorem of permanence of the sign - - algebra of the limits - Continuous functions - continuity algebra - continuity theorem of composite functions - theorem of the existence of zeros - Weierstrass principle - intermediate value theorem - inverse theorem - differential calculus for real functions with real values - tangent-line derivative - derivative algebra - derivability algorithm and continuity - non-derivability points - functions derivation algorithm - inverse point theorem - critical point definition - relative maxima and minima - Fermat's theory - Rolle's principle - Lagrange's theorem - consequences for Lagrange's theorem - Cauchy's theorem- graph of function study - De l'hopital theorem - derivatine on ordre n- concave and convex-functions. - Integral-primitive of functions- calculation of the indefinite-integralel- ementary integrals-integration techniques -integration of composite-integrating functions by integral parts -fundamentale theorem of integral calculus - Calculation of areas- generalized integrals - Convergence criteria. ODE.