Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti un'adeguata conoscenza di alcune tecniche fisico-matematiche idonee alla descrizione dei sistemi fisici e che permettono di creare modelli atti a descrivere fenomeni fisici e di determinarne la soluzione. Equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) del primo e del secondo ordine; Metodo delle caratteristiche. Problemi ai valori iniziali, al contorno e di tipo misto; Classificazione delle EDP, forme canoniche e integrazione; Metodo di separazione delle variabili; Equazioni di Laplace, Fourier, D’Alembert e Poisson; Metodi numerici per l’integrazione delle EDP.

Learning Goals

The aim of the course is to provide adequate knowledge of some physical-mathematical techniques suitable for the description of physical systems, which allow to create mathematical models capable of describing physical phenomena and determining their solution. First and second order partial differential equations (PDE); Method of characteristics. Initial, boundary and mixed type problems; Classification of PDE, canonical forms and integration; Method of separation of variables; Laplace, Fourier, D’Alembert and Poisson equations; Numerical methods for the integration of PDE.

Metodi didattici

Lezioni classiche alla lavagna.

Teaching Methods

Classical lessons

Prerequisiti

Conoscenza e padronanza di Analisi Matematica, Geometria, Analisi complessa, serie e trasformate integrali.

Prerequisites

Knowledge and mastery of Mathematical Analysis, Geometry, Complex analysis, Fourier series and Transforms and Laplace transform.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Durante il corso verranno proposte delle prove in itinere sui vari argomenti trattati. Il superamento delle prove in itinere permetterà l’esonero dalla relativa parte della prova scritta.

Assessment

The exam consists of a written test and an oral part. During the course, ongoing tests will be proposed on the various topics. Passing the ongoing tests will allow exemption from the corresponding part of the written test.

Programma del Corso

Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP). Teorema di Chauchy Kovalevska (Enunciato). EDP del primo ordine lineari e non lineari. Metodo delle caratteristiche. Problema di Cauchy. Tempo critico. Esistenza e unicità della soluzione. Equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine. Formulazione del problema di Cauchy e curve caratteristiche. Classificazione delle EDP del secondo ordine quasi-lineari. Forme canoniche. Esempi particolarmente significativi. Equazione della corda vibrante o di D’Alembert. Dominio di dipendenza e di influenza. Equazione di Fourier. Equazione di Laplace. Equazione di Poisson. Richiami sulla serie di Fourier in campo reale. Metodo di separazione delle variabili per le EDP del secondo ordine. Applicazioni a casi particolarmente significativi. Funzione di Green per le EDP del secondo ordine. Metodo generale e applicazione alle equazioni di Poisson, equazione di diffusione ed equazione delle onde. Metodi alle differenze per le PDE del secondo ordine. Applicazione a casi particolarmente significativi e a problemi di Dirichlet, Neumann e di tipo misto. Studio della convergenza.

Course Syllabus

Introduction to partial differential equations (EDP). Chauchy Kovalevska theorem (without demonstration). Linear and nonlinear first order EDP. Characteristics method. Cauchy problem. Critical time. Existence and uniqueness of the solution. Second order partial differential equations. Formulation of the Cauchy problem and characteristic curves. Classification of quasi-linear second order EDPs. Canonical forms. Particularly significant examples. D’Alembert equation. Dependence and influence domain. Fourier equation. Laplace equation. Poisson equation. Recalls on the Fourier series in real field. Variable separation method for second order EDPs. Applications to particularly significant cases. Green function for second order EDPs. General method and application to Poisson equations, diffusion equation and wave equation. Differential methods for second order PDEs. Application to particularly significant cases and to Dirichlet, Neumann and mixed problems. Convergence study.