Obiettivi Formativi

OF1 (Conoscenza e comprensione) - Acquisizione di concetti fondamentali dell’’analisi numerica, necessari a dare una risposta numerica a problemi reali del calcolo scientifico mediante elaboratore elettronico digitale, e della programmazione. Acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici avanzati e della loro implementazione in ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico. OF2 (Capacità di applicare conoscenza e comprensione) - Capacità di applicare le competenze apprese per individuare gli strumenti opportuni per la risoluzione di modelli matematici, associati a problemi reali del calcolo scientifico, e per l’implementazione dei relativi algoritmi ottimizzati. OF3 (Autonomia di giudizio) - Capacità di sviluppare un ragionamento logico per affrontare la risoluzione numerica di problemi reali del calcolo scientifico, al fine di realizzare algoritmi ottimizzati, basati sull’’analisi dell’’insieme dei dati di input e sull’’interpretazione critica dei risultati ottenuti. OF4 (Abilità comunicative) - Acquisizione del linguaggio e del formalismo dell’analisi numerica per l’esposizione: delle conoscenze acquisite; della risoluzione di modelli matematici, associati a problemi reali del calcolo scientifico; e dell’’analisi dei risultati. OF5 (Capacità di apprendimento) – Apprendimento di metodi, tecniche e strumenti atti alla risoluzione di modelli matematici, associati ad attuali problemi, e allo sviluppo dei relativi algoritmi ottimizzati.

Learning Goals

OF1 (Knowledge and understanding) - Acquaring fundamentals of numerical analysis, necessary to give a numerical answer to real problems of scientific computing by means digital electronic computer, and programming. Acquiring mastery in the study of advanced numerical algorithms and their implementation in development environments for scientific computing. OF2 (Ability to apply knowledge and understanding) - Ability to apply the skills learned to identify the appropriate tools to solve real problems of scientific computing and implement related algorithms. OF3 (Autonomy of judgment) - Ability to develop a logical reasoning to deal with the numerical solution of actual problems of scientific computing in order to realize optimized algorithms, based on the analysis of the set of input data and critical interpretation of the obtained results. OF4 (Communication skills) - Acquisition of the language and formalism of numerical analysis for exposure of the knowledge acquired; the resolution of mathematical models, associated with real problems of scientific calculation; and the analysis the results. OF5 (Learning skills) – Learning of methods, techniques and tools for solving mathematical models, associated with actual problems of scientific computing, and for the development of related optimized algorithms.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso sono implementati nell’ambiente di sviluppo per il calcolo scientifico MATLAB&Simulink al fine di permettere la necessaria sperimentazione per stimolare e acquisire l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Teaching Methods

The lessons of the course are integrated by practical exercises carried out in the laboratory, during which the algorithms and numerical methods studied during the course are implemented in the development environment for the scientific computing: MATLAB&Simulink, in order to allow the necessary experimentation to stimulate and acquire the critical analysis of the obtained results.

Prerequisiti

Matematica di base, algoritmi e strutture dati di base, basi di programmazione.

Prerequisites

Fundamentals on mathematics, basic algorithms and data structures, fundamentals of programming. ​​​​​​​

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche dell'apprendimento si basano su il giudizio di laboratorio e sull’esame orale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio, che non è espressa con un voto in trentesimi, si ottiene svolgendo un esercizio, per ogni grande capitolo del corso. L’esercizio deve comprendere l’implementazione del metodo numerico e l’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati. Gli studenti, che durante il corso non hanno presentato alcun progetto entro la data prestabilita, il giorno dell’esame dovranno fare una prova pratica di laboratorio, comprensiva dell’analisi dei risultati, prima di poter essere ammessi a sostenere l’orale. La buona qualità dell’attività di laboratorio viene tenuta in considerazione nella determinazione del voto finale. L’esame finale è orale.

Assessment

The learning tests are based on the laboratory assessment and the oral exam. Thereby: 1) the knowledge acquired by students on every single topic of the program is ascertained; 2) students' ability to apply the studied theory to particular problems is verified. The sufficiency threshold for the laboratory assessment, which is not expressed with a vote in thirtieths, is obtained by carrying out an exercise for each major chapter of the course. The exercise must include the implementation of the numerical method and the analysis of the results obtained from at least two different data sets. Students, who during the course did not submit any project by the established date, on the day of the exam will have to do a practical laboratory test, including the analysis of the results, before they can be admitted to take the oral exam. The good quality of the laboratory activity is taken into account in determining the final grade. The final exam is oral.

Programma del Corso

L’AMBIENTE DI SVILUPPO MATLAB&Simulink. Comandi MATLAB. Programmare in MATLAB. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI, CURVE, SUPERFICI E DATI. Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati. Approssimazione ai minimi quadrati discreti con Spline lineari e cubiche. Funzioni B-Spline. Spline parametriche. Ricostruzione di curve. Interpolazione trigonometrica. Trasformata discreta di Fourier. APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA LINEARE NUMERICA. Sistemi sovra-determinati: Fattorizzazione QR. Metodo di Householder e metodo di Givens. Decomposizione in valori singolari di una matrice (SVD) e proprietà. SVD troncata e applicazioni. Minimi quadrati e SVD. Norma di matrici rettangolari. Pseudo-inversa di Moore-Penrose. Indice di condizionamento di una matrice. EQUAZIONI NON LINEARI. Metodo di bisezione. Metodi delle corde, secanti, Regula Falsi. Metodi di iterazione funzionale. Convergenza. Metodo di Newton. AUTOVALORI E AUTOVETTORI. Teoremi di localizzazione. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Equazioni e sistemi di equazioni differenziali di ordine p. Metodi di Eulero, Eulero modificato e Eulero-Heum. Le formule di Runge-Kutta. Metodi multistep. Le formule di Adams-Bashfort e di Adams-Moulton. Consistenza, Convergenza e Stabilità delle formule.

Course Syllabus

THE MATLAB&Simulink ENVIRONMENT. MATLAB statements. Programming in MATLAB. APPROXIMATION OF FUNCTIONS, CURVES, SURFACES AND DATA. Approximation of a function in the sense of least squares. Discrete least squares approximation by means linear and cubic Splines. B-Splines. Parametric Spline functions. Reconstruction of curves. Trigonometric interpolation and discrete Fourier transform. ADVANCED NUMERICAL LINEAR ALGEBRA. Over-determined systems: QR factorization. Method of Householder. Method of Givens. Singular value decomposition of a matrix (SVD). Truncated SVD and applications. Least squares and SVD. Norms of rectangular matrices. Pseudo-inverse of Moore-Penrose. Condition number of a matrix. NONLINEAR EQUATIONS. Bisection method. Methods of the Chord, Secant, False Position. Functional iteration methods. Convergence. Newton's method. EIGENVALUES AND EIGENVECTORS. Localization theorems. Power method. Inverse power method. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. Equations and systems of ordinary differential equations of p order. Methods of Euler, modified Euler and Euler-Heum. Runge-Kutta methods. Multistep methods. Methods of Adams-Bashfort and Adams-Moulton. Consistency, Convergence and Stability of the methods.