Obiettivi Formativi

Far acquisire conoscenze sul calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili e sui metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie. Far acquisire la capacità di applicare le conoscenze maturate nell'ambito dell'Analisi Matematica per analizzare e risolvere problemi dell'ingegneria di base. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti l'insegnamento anche attraverso un confronto critico tra diverse possibili soluzioni di uno stesso problema matematico. Far acquisire la capacità di far comprendere anche a interlocutori non specialisti le problematiche trattate nel corso di Analisi Matematica utilizzando un linguaggio scientifico adeguato. Far acquisire la capacità di apprendimento necessaria da consentire l’approfondimento individuale delle conoscenze e per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia

Learning Goals

To acquire knowledge on the main results of differential and integral calculus for the functions of several variables and the solution methods of some types of ordinary differential equations. To acquire the ability to apply the knowledge gained in the context of Mathematical Analysis to identify, formulate and solve basic engineering problems. To acquire the ability to independently identify the tools and data sources necessary for the analysis, understanding and resolution of problems, also through a critical comparison between different possible solutions of the same mathematical problem. To acquire the ability to make non-specialist interlocutors understand the problems dealt with in the course of Mathematical Analysis using appropriate scientific language. To acquire the necessary learning ability to allow the individual deepening of knowledge and to undertake subsequent studies with a high degree of autonomy.

Metodi didattici

Il corso è erogato in lezioni frontali durante le quali gli argomenti vengono introdotti dal punto di vista teorico e immediatamente applicati attraverso lo svolgimento di esercizi. Alcune lezioni saranno erogate attraverso l’uso di una tavoletta grafica e il file.pdf generato sarà caricato sulla pagina Moodle del corso. Durante le lezioni verrà utilizzato anche il software gratuito GEOGEBRA attraverso il quale gli Studenti potranno visualizzare “l’oggetto matematico” proposto nell’esercizio e scegliere il metodo più opportuno per studiarlo.

Teaching Methods

The course is delivered in frontal lessons during which the topics are introduced from a theoretical point of view and immediately applied through exercises. Some lessons will be delivered through the use of a graphic tablet and the generated files will be uploaded on the Moodle page of the course. During the lessons the free software GEOGEBRA will also be used, through which the students will be able to view the "mathematical object" proposed in the exercise and choose the most appropriate method to study it.

Prerequisiti

Si richiede la conoscenza dei contenuti erogati nel corso di ANALISI MATEMATICA I.

Prerequisites

Knowledge of the contents provided during the course of MATHEMATICAL ANALYSIS I is required.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame finale è costituito da una prova scritta e da un colloquio orale che si svolgono durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere, finalizzate all’esonero dalla prova scritta, che si svolgono rispettivamente a metà e a fine corso. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Tutte le prove intermedie sostenute hanno validità fino al termine dell’anno accademico in corso. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono comunque sostenere la prova scritta durante gli appelli. Per accedere al colloquio orale occorre aver superato la prova scritta con un punteggio pari o maggiore a 15/30 oppure avere conseguito un punteggio medio pari o maggiore a 15/30 nelle due prove scritte in itinere. Il colloquio orale è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso e la valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Assessment

The final exam consists of a written test and an oral exam that take place during the exam sessions scheduled by the Department of Engineering. During the course, two partial written tests, aimed at exoneration from the written test, are scheduled. These ones take place respectively in the middle and at the end of the course and each test is assigned an evaluation of thirty. All the partial written tests are valid until the end of the current academic year. Students who do not participate in partial written tests may still take the written test during the appeals. To access the oral exam, students must have passed the written test with a score equal to or greater than 15/30 or have achieved an average score equal to or greater than 15/30 in the two partial written tests during the course. The oral exam focuses on the topics covered during the course and the evaluation takes into account the acquired knowledge, the ability to apply the concepts studied and the exposure with scientific language. The exam is passed if the average score between written and oral part is equal to or greater than 18/30.

Programma del Corso

• Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Elementi di topologia in R^n: distanza tra due punti, altre metriche in R^n, intorno di un punto, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi, insiemi compatti. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria per l'esistenza del limite. Definizione di funzione continua. Teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una funzione. Condizione necessaria di differenziabilità. Differenziale di una funzione. Relazione tra differenziabilità e continuità. Relazione tra differenziabilità e derivabilità. Funzione composta, teorema sull'esistenza della derivata della funzione composta. Derivata direzionale di una funzione, teorema sull'esistenza delle derivate direzionali. Applicazioni fisiche del calcolo differenziale. Teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. • Estremi relativi ed assoluti di una funzione di più variabili: Cenni sulle forme quadratiche in R^{n}: forme quadratiche semidefinite positive, negative, forme quadratiche definite positive, negative. Estremi relativi di una funzione: definizione, punti di estremo relativo proprio, condizione necessaria del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di estremo relativo proprio. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. • Curve regolari e integrali curvilinei di prima specie: Rappresentazioni parametriche equivalenti, curve regolari in R^n, traccia di una curva, curve chiuse, curve semplici, versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Baricentro di una curva regolare. • Forme differenziali lineari e integrali curvilinei di seconda specie: Funzioni lineari su R^n. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale esatta. Condizione necessaria di esattezza. Criterio di esattezza. Forme differenziali chiuse. Relazione tra forme differenziali chiuse e forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse su insiemi aperti semplicemente connessi. • Calcolo integrale per funzioni di più variabili: Integrale doppio. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in un integrale doppio: coordinate polari. Baricentro di un dominio. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Integrale triplo. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza nel piano, formula di Stokes, formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. • Equazioni differenziali ordinarie: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Equazioni a variabili separabili, equazioni di tipo omogeneo. Proprietà dell’integrale generale di un’equazione lineare omogenea o completa e metodo risolutivo. Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e complete. Equazioni di Eulero.

Course Syllabus

• Differential calculus for more variables functions: Notes of topology in R^n. Distances on R^n. Internal, external and border points. Isolated points and accumulation points. Open and closed sets. Bounded sets. Compact and connected sets. Limit for a more variables real function. Necessary condition for limit’s existence. Continuity of a more variables real function. Continuity results. Partial derivatives, Schwarz’s theorem about mixed partial derivatives. Differentiable functions. Necessary condition for differentiability. Differential of a function. Relationship between continuity and differentiability. Relationship between partial derivatives and differentiability. Composite function. Theorem on existence of derivative of a composite function. Directional derivative. Theorem on existence of directional derivative. Physical applications of differential calculus. Theorem of the total differential. Lagrange’s Theorem. Theorem on null gradient functions. • Relative and absolute maxima and minima: Notes on quadratic forms on R^n. Relative extrema of a more variables real function. First order necessary condition. Second order necessary condition. Second order sufficient condition. Study of the nature of critical points. Finding relative and absolute extrema of a function. • Regular curves and line integrals of the first type: Equivalent parametric representations, regular curves on R^n. Unit tangent and unit normal. Length of a curve. Curvilinear abscissa. Line integral of a function. Centroid of a regular curve. • Differential forms and line integrals of the second type: Differential forms on R^n. Line integral of a differential form. Exact differential forms. Primitive of an exact differential form. Necessary condition for exactness. Sufficient and necessary condition for exactness. Closed differential forms. Relationship between closed and exact differential forms. Closed differential forms on simply connected open sets. • Integration of functions of several variables: Double integral. Change of variables in a double integral: polar coordinates. Centroid of a domain. Guldino’s theorem to find volume of a revolution solid. Triple integral. Change of variables in a triple integral: spherical and cylindrical coordinates. Green’s formula and consequences. • Ordinary differential equations: Ordinary differential equations of the first order in normal form: equations with separable variables, equations of homogeneous type. Properties of the general integral of a homogeneous or complete linear equation and resolutive method. Bernoulli equations. Resolution of some types of differential equations in non-normal form of the first and second order. Linear differential equations of order n with homogeneous and complete constant coefficients. Euler equations.