Obiettivi Formativi

Conoscenza del campo dei numeri reali. Acquisizione delle nozioni di limite, continuità e derivabilitàe integrabili secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale. Acquisizione delle nozioni di successione e serie di numeri reali

Learning Goals

Knowledge of the set of real numbers and of the fundamental concepts of limit, continuity, differentiability, and Riemann integration for real functions of one real variable. Acquisition of the concepts of sequence and series of real numbers.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials

Prerequisiti

Calcolo algebrico in R. Concetti base di teoria degli insiemi.

Prerequisites

Algebraic calculus in R. Basic concepts of set theory.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Assessment

Written ad oral test

Programma del Corso

Relazioni e funzioni tra insiemi. Funzioni invertibili. Funzioni Composte. L’ insieme R. Classi separate e contigue. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. L’insieme N. Principio di induzione. Gli insiemi Z e Q. Radice n-esima. Esponente razionale e reale. Calcolo combinatorio. Binomio di Newton. L’insieme C dei numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone. Funzioni potenza, valore assoluto, esponenziale, logaritmica, trigonometriche, iperboliche e loro inverse. Proprietà delle funzioni elementari. Equazioni in R e in C. Disequazioni in R. Successioni in R. Limite di una successione: convergenza e divergenza. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, confronto. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone. Massimo e minimo limite. Successioni limitate. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. . Successioni di Cauchy. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Teoremi di Cesaro. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie convergenti e divergenti. Somma di una serie. Serie notevoli: di Mengoli, telescopiche, armonica, armonica generalizzata e geometrica. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Criteri di convergenza: confronto, rapporto, radice, di Raabe, di condensazione. Serie di segno qualunque. Criterio di Abel e di Leibniz. Serie assolutamente convergenti. Riordinamento di una serie. Teorema di Riemann-Dini. Topologia in R: intervalli, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Intorni. Punti di accumulazione, di aderenza e punti isolati. Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limite di funzioni monotone. Caratterizzazione sequenziale del limite. Operazioni con i limiti. Limite di funzioni composte e cambiamento di variabile nei limiti. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni. Limiti notevoli. Funzioni continue. Somma e prodotto di funzioni continue. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Massimo e minimo assoluti. Teorema di Weierstrass, di esistenza degli zeri, e dei valori intermedi. Criterio di invertibilità. Uniforme continuità. Funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor. Derivata e significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra. Derivata di somma, prodotto e quoziente di due funzioni. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Massimo e minimo relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange. Teorema di de L’Hospital. Criteri di monotonia e di stretta monotonia. Funzioni concave e convesse. Criteri di convessità. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. Differenziale e suo significato geometrico. Differenziabilità e derivabilità. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Applicazioni della Formula di Taylor al calcolo dei limiti. Integrabilità secondo Riemann e integrale di Riemann. Somme di Cauchy. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza. Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrale indefinito delle funzioni elementari. Regole di integrazione: per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali o ad esse riconducibili per sostituzione.

Course Syllabus

Functions and Relations. Composition of functions. Invertible functions. Real numbers. Majorant, minorant, supremum and infimum. Integers and rationals. Induction Principle. n-root. Rational and real exponent. Combinatorial calculus. Newton⤿s binomial. Complex number. Algebraic and trigonometric representation of complex numbers. De Moivre formula. N-roots of a complex number. Equation in C. Real functions. Monotone functions. Elementary functions and their properties. Equations in R and in C. Inequalities in C. Sequences in R. Monotone sequences. Limit of a sequence: convergence and divergence. Theorems on limits of a sequence. Maximum and minimum limit. Bounded sequences. Subsequences and Bolzano-Weierstrass' Theorem. Cauchy sequences. Operations with limits. Indeterminate forms. Remarkable limits. The Nepero number. Cesaro's Theorems. Sequences defined by recurrence. Series. Convergent and divergent series. Sum of a series. Remarkable series: the Mengoli series, telescoping series, geometric series, generalized harmonic series. Cauchy condition for a series. Convergence criteria: comparison, ratio, root, Raab criterion, condensation. Changing sign series. Abel and Leibniz criteria. Absolute convergence. Rearrangements of series and Riemann-Dini Theorem. Topology in R: intervals, open sets, closed sete, compact sets, neighborhoods. Accumulation points, cluster points, isolated points. Limit of a function. Uniqueness of limit. Operations with limits. Limit of composite functions and change of variables. Left and right limit. Theorems on limiti of functions. Remarkable limits. Continuous functions. Sum and product of continuous functions. Continuity of composite and inverse functions. Different types of discontinuity. Global maximum and minimum. Weierstrass' Theorem. Existence of zeros and intermediate values theorem.s. Invertibility criterion. Uniform continuity. Lipschitz functions. Heine-Cantor Theorems. Derivative and geometric meaning. Left and right derivative. Operations with derivatives. Derivative of composite and inverse function. Derivative of elementary functions. Local maximum and minimum of a function. Fermat's Theorem. Rolle's Theorem. Cauchy Theorem. Lagrange Theorem. De L'Hospital Theorem. Monotonicity and strict monotonicity criteria. Convex and concave functions. Convexity criteria. Study of a real function. Differential and geometric meaning. Differentiability and derivability. Taylor's polynomial. Taylor's formula with Peano and Lagrange remainder. Computation of limits by Taylor's expansion. Riemann integrability and Riemann integral. Cauchy's sums. Integrability of continuous functions and monotone functions. Mean value theorem for integrals. Fundamental Calculus Theorem. Application of integrals in computation of plane areas. Improper integrals and convergence criteria. Primitives and indefinite integral. Indefinite integral of elementary functions. Integration rules: by decompotions, by parts and by substitution. Integration of rational functions. Reducible integrals to integrals of rational functions.