Obiettivi Formativi

Conoscenza dei metodi dell’algebra commutativa e omologica e della combinatoria algebrica.

Learning Goals

Knowledge of methods of commutative and homological algebras and of algebraic combinatorics.

Metodi didattici

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A Lezioni frontali in aula ed esercitazioni in classe. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B Lezioni frontali in aula ed esercitazioni in classe.

Teaching Methods

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A Traditional lectures format and classroom exercises. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B Traditional lectures format and classroom exercises.

Prerequisiti

Conoscenze acquisite nei corsi istituzionali di Algebra di un corso di laurea della classe L-35.

Prerequisites

The contents of the courses of Algebra of a degree of L-35 class.

Verifiche dell'apprendimento

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A L'esame finale consisterà in una prova orale. Durante il corso saranno assegnati esercizi e/o seminari. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B La prova di verifica finale consiste in un esame orale.

Assessment

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A The final examination consists in an oral test. During the course exercises and / or seminars will be assigned. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B The final examination consists in an oral test.

Programma del Corso

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A Introduzione alla teoria delle categorie. Moduli sinistri, destri e bilateri. Prodotti diretti e somme dirette di moduli. Sequenze esatte. Lemma del serpente e sue applicazioni. Lemma dei cinque. Il modulo degli omomorfismi. Gli operatori Hom(-,- ). Prodotto tensoriale. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Moduli proiettivi, iniettivi. Inviluppi iniettivi. Moduli piatti. Moduli fedelmente piatti. Complessi di moduli. Risoluzioni libere, proiettive, iniettive, piatte di moduli e loro caratterizzazioni omologiche. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B Il gruppo simmetrico, le partizioni di un intero n e le tabelle di Young.Classi coniugate in Sn. Struttura ciclica di una permutazione. Numero degli r-cicli. Le classi coniugate in Sn sono tante quante le partizioni di n. La cardinalità di una classe coniugata di Sn. La funzione partizione p(n). Studio delle proprietà di alcune congruenze di Ramanujan. Rappresentazione grafica di una partizione: i diagrammi di Young e i diagrammi di Ferrers. La coniugata di una partizione. Funzioni generatrici. Tabelle di Young standard e semistandard. Hook formula. Polinomi simmetrici e alternanti. Le potenze pari del determinante di Vandermonde. Formule di Viéte. Le funzioni simmetriche elementari. Il Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche. Le funzioni simmetriche monomiali. Lo spazio vettoriale delle funzioni simmetriche: basi e dimensione. Matrici di passaggio. Definizione classica e definizione combinatoria di una funzione di Schur. Numeri di Kostka. Le funzioni simmetriche omogenee complete. Le funzioni simmetriche somme di potenze. Le identità determinantali di Jacobi-Trudi. Uso di SCHUR, un programma interattivo per il calcolo delle proprietà delle Funzioni Simmetriche.

Course Syllabus

Modulo: 47/1 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. A Introduction to category theory. Left, right modules. Direct products and direct sums of modules. Exact sequences. Snake lemma and its applications. The homomorphism module. Hom operators (-, -). Tensorial product. Finitely generated modules. Free modules. Projective, injective modules. Injective envelopes. Flat and faithfully flat modules Complex of chains and cochains. Free, projective, injective, flat resolutions of modules, and their homological characterizations. Modulo: 47/2 - ALGEBRA SUPERIORE MOD. B The symmetric group. Partitions and their orderings. The elementary theory of partitions. The number of inequivalent irreducible representations of the symmetric group is equal to the number of partitions of n. Young and Ferrers diagrams. The partition function. Generating functions. Partitions and their generating functions. Recurrence relations. Ramanujan's congruences. Standard and semistandard Young tableaux. Hook formula. Symmetric and alternating functions in general. Elementary symmetric functions. Viéte formulas. The fundamental theorem of symmetric functions. Monomial symmetric functions. The vector space of symmetric functions and its fundamental basis. Transition matrices. The classical definition of Schur functions. The combinatorial definition of Schur functions. Kostka numbers. Complete homogeneous symmetric functions. Power symmetric functions. The powers of Vandermonde determinant.The Jacobi-Trudi identity. Use of SCHUR, an interactive program for calculating properties of Symmetric Functions.