Obiettivi Formativi

L'insegnamento si propone di fornire allo studente ulteriori strumenti matematici che sono di ausilio nella trattazione di problemi di interesse per l'ingegneria. Affrontare problemi di risoluzione e di caratterizzazione della soluzione di equazioni alle derivate parziali, problemi di massimizzazione o minimizzazione rappresentativi di diversi problemi applicativi. Acquisire un linguaggio scientifico appropriato ed un metodo di studio adeguato a consentire l'approfondimento delle conoscenze e ad affrontare ulteriori tematiche avanzate e/o settoriali. Sviluppare la capacità di elaborazione autonoma dei concetti e di presentazione dei risultati.

Learning Goals

The course aims to provide the student with additional mathematical tools that help to deal with problems of interest for engineering. Addressing problems of solving and characterizing the solution of partial differential equations, problems of maximization or minimization representative of different application problems. Acquire an appropriate scientific language and an adequate study method to allow the deepening of knowledge and to address further advanced and / or sectoral topics. Develop the ability to autonomously elaborate concepts and present results

Metodi didattici

La metodologia didattica prevede attività di lezione frontale ed esercitazioni. Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi agli argomenti del programma. La teoria è sempre accompagnata da esempi e dalla descrizione di applicazioni pratiche. Vengono inoltre svolti numerosi esercizi in aula.

Teaching Methods

The didactic methodology consists of frontal lectures and some practical exercitations. The course is structured in classroom lectures that illustrate the fundamental concepts related to the topics of the program. The theory is always accompanied by examples and the description of practical applications. Numerous exercises are also held in the classroom.

Prerequisiti

Il corso richiede la conoscenza preliminare di calcolo differenziale, integrale e equazioni differenziali ordinarie.

Prerequisites

The course requires the preliminary knowledge of differential,integral calculus and ordinary differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dellapprendimento avviene attraverso un esame, che accerta lacquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria e consiste in un approfondimento orale volto ad accertare le conoscenze teoriche e la padronanza degli argomenti del corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dellesposizione in un linguaggio scientifico appropriato.

Assessment

The final examination consists of a written and oral exam both concerning the entire program.The oral exam is mandatory and it consists of an oral examination aimed at ascertaining the theoretical knowledge and the mastery of the course topics. The evaluation takes into account the acquired knowledge, the ability to apply the concepts studied and the exposure in an appropriate scientific language.

Programma del Corso

Problemi variazionali. Spazio di funzioni. Funzionali-Esempi di funzionali-Variazione prima di un funzionale- Stazionarietà di un funzionale-Equazioni di Eulero-Lagrange nel caso unidimensionale-Problema della brachistocrona-Distanza minima tra due punti-Equazioni di Eulero-Lagrange nel caso N-dimensionale-Esempi. Metodi matematici per le equazioni differenziali alle derivate parziali Nozioni generali sulle equazioni differenziali alle derivate parziali- Equazioni alle derivate parziali quasilineari, semilineari, lineari- Equazioni del primo ordine: metodo delle caratteristiche- Classificazione delle equazioni del secondo ordine: iperboliche, paraboliche, ellittiche- Curve caratteristiche e forma canonica delle equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine- Problemi al contorno per le equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine-Metodo di separazione delle variabili e problema di Sturm-Liouville. Trasformata di Laplace Definizione e dominio della trasformata di Laplace. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Antitrasformata . Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari.

Course Syllabus

Variational problems. Functionals- Examples- First variation of a functional- Stationarity condition fo ra functional- Euler-Lagrange equations. Hamiltonian action, synchronous variations. Hamilton principle: lagrangian and hamiltonian form. Brachistocrone curve. Partial Differential Equations. Preliminary notions on the partial differential equations. Linear, semilinear and quasilinear partial differential equations. First-order equation: method of characteristics. Classification of second-order partial differential equations: hyperbolic, parabolic, elliptic. Characteristic curves and canonical form of second-order partial differential equations. Boundary problems for second-order partial differential equations. Method of separation of variables and associated Sturm-Liouville problem. Laplace transform : Definitions Properties and examples. Inverse Laplace transform. Application of Laplace transform to differential equations