Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle più semplici equazioni differenziali ordinarie e le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. Si insisterà sulla comprensione e sullassimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali, serie oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche e dovranno sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere anche di tipo applicativo e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti. Dovranno sapere argomentare le scelte effettuate ed essere in grado di individuare le regole appropriate da applicare alla risoluzione di problemi nuovi, analoghi a quelli discussi a lezione. Gli studenti dovranno sapere comunicare in modo efficace, pertinente e dimostrare capacità logico - argomentative e di sintesi. Gli studenti dovranno essere in grado di discutere alcuni temi scientifici costruendo semplici modelli matematici applicati all'ingegneria.

Learning Goals

The course aims to provide students with the basic knowledge of differential and integral calculus for the real functions of a real variable, series theory and basic notions on ordinary differential equations and their applications to solving problems based on mathematical models. We will insist on understanding and assimilating the definitions and the main results, rather than on the proofs (some of which, moreover, will be carried out in detail). Wide space will be given to examples and exercises: at the end of the course, students should be able to perform, correctly and without hesitation, elementary calculations concerning limits, derivatives, integrals, series, possess the main theoretical notions and will need to know how to apply the concepts learned to the resolution of various types of problems, including applications, and to identify the most appropriate approach to solving the proposed problems. They will have to know how to argue the choices made and be able to identify the appropriate rules to apply to the resolution of new problems, similar to those discussed in class. Students must be able to communicate efficienytly and to proof logical - argumentative and summary skills. Students will be able to discuss some scientific topics by building simple mathematical models applied to engineering.

Metodi didattici

Lezione orale frontale (36 ore) ed esercitazioni con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria (36 ore). La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni in aula, anche se non obbligatoria, è fortemente consigliata.

Teaching Methods

Oral lesson (36 hours) and exercises with applications to typical engineering problems (36 hours). The frequency is strongly recommended.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di base di matematica elementare, fornita dalle scuole medie superiori.

Prerequisites

Basic topics of elementary mathematics, provided by high schools.

Verifiche dell'apprendimento

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi indicati nella scheda: la capacità di comprensione delle problematiche proposte durante il corso, la capacità di applicare correttamente le conoscenze teoriche, l'abilità di formulare l'approccio appropriato per la risoluzione del problemi proposti, l'abilità di comunicare in modo efficace e pertinente in forma scritta. L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta lo studente deve risolvere alcuni esercizi, atti a dimostrare di aver acquisito e saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 16 punti su 30. Il superamento della prova scritta consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sulla prova scritta e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso, l'acquisizione del rigore metodologico e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. L'esame si riterrà superato se la media tra scritto e orale è almeno 18/30. Durante il corso sono previste n. 3 prove di verifica intermedie, il cui superamento può sostituire la prova finale scritta. Ciascuna delle prove in itinere si riterrà superata con una votazione minima di 18/30.

Assessment

The aim of the exam is to verify the level of achievement of the objectives indicated in the form: the ability to understand the problems proposed during the course, the ability to correctly apply the theoretical knowledge, the ability to formulate the approach appropriate for the resolution of proposed problems, the ability to communicate effectively and pertinently in write form. The exam consists of a written test and an oral test. In the written test the student must solve some exercises, for demonstrate that they have acquired and know how to use the tools provided during the course. To pass this test you must acquire at least 16 points out of 30. Passing the written test allows you to take the oral exam, which consists of a discussion on the written test and questions that tend to ascertain the theoretical knowledge of the course contents , the acquisition of methodological rigor and the ability to reason about topics related to the course. The exam will be considered passed if the average between written and oral is at least 18/30. During the course there are n. 3 intermediate verification tests, the passing of which can replace the final written test. Each of the ongoing tests will be deemed passed with a minimum grade of 18/30.

Programma del Corso

Insiemi numerici: Il principio di induzione Coefficiente binomiale - Numeri reali Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi -numeri complessi-operazioni fra numeri complessi-equazioni numeri complessi. Funzioni reali di variabile reale: Funzioni-dominio e codominio di una funzione-funzione iniettiva, suriettiva e biettiva-funzioni composte-funzione inversa-topologia della retta reali-funzioni monotone -funzioni limitate-grafico di funzioni elementari. Limiti di funzione -gerarchia degli infiniti-confronto fra infiniti-principio di sostituzione degli infiniti -algebra dei limiti Funzioni continue-algebra della continuità- Continuità delle funzioni composte-punti di discontinuità-teorema dellesistenza degli zeri -teorema di Weierstrass-teorema dei valori intermedi-teorema su funzioni inverse Calcolo differenziale per funzioni reali a valori reali-derivata-retta tangente -algebra delle derivate -derivabilità e continuità- punti di non derivabilità-derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse -massimi e minimi relativi -teorema di Fermat -teorema di Rolle -teorema di Lagrange-conseguenze al teorema di Lagrange -studio di funzione-teorema di Cauchy -teorema di De lHopital -funzioni concave e convesse-derivate successive. Calcolo integrale-primitiva di una funzione- integrale indefinito- integrali elementari-tecniche di integrazione -integrazione di funzioni composte-integrazione per parti-integrale secondo Riemann- proprietà dellintegrale -teorema della media-teorema fondamentale del calcolo integrale integrazione impropria. Successioni e serie numeriche:-successioni monotone-limiti di successione -algebra dei limiti-teorema del confronto Proprietà delle serie . Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.

Course Syllabus

Real numbers - Absolute value - Supremum and infimum of sets of reals numbers - Elements of combinatorial calculation. Complex numbers - Power and roots of complex numbers Complex equations - Limit concept Some theorems on sequences Operations with limits - Real functions of one real variable - Elementary functions and their graphs - Limit of functions Theorems about limits - Operations with limits - Fundamental limits - Continuity and discontinuity Operations with continuous functions and related theorems - uniform continuity. Definition of derivative and its geometrical meaning - Differentiation of sums, products and quotients - Theorems and applications of differential calculus for the study of a function - Rolle's, Cauchy's , Lagrange's theorems and its consequences - Taylor's formula - Convexity and concavity. Indefinite integrals - Integration by parts and by substitution Integration rational functions - Integration of some important functions. Riemann integrability - Integrability of the continuous functions - Properties of integrals Mean-value theorem - Integral function - Fundamental theorem of of the integral calculus - Integrals of discontinuous functions - Integrals of unbounded functions Testing the convergence of improper integrals. Monotone sequences - Some important limits - Infinite series - Convergence - Necessary condition for the convergence - Numerical Series.