Obiettivi Formativi

Lo scopo principale del corso è di introdurre alcuni strumenti e teorie matematiche tra quelli più usati nelle applicazioni fisico-ingegneristiche. Tra gli strumenti che si studieranno: trasformate di Fourier e di Laplace, polinomi trigonometrici e funzioni analitiche (con qualche applicazione significativa). A fondamento di questi, si forniranno elementi della teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa ed elementi di analisi funzionale e reale.

Learning Goals

The main purpose of the course is to introduce some tools and mathematical theories among those most commonly used in engineering applications. Among the tools we will study: Fourier and Laplace transforms, trigonometric polynomials and analytic functions (with some significant applications). At the basis of these, elements of the theory of derivable functions of complex variable and elements of functional and real analysis will be provided.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Prove di verifica periodiche

Teaching Methods

Lessons and exercises. Periodic tests

Prerequisiti

Conoscenze di base della geometria e dell'analisi matematica.

Prerequisites

Basic knowledge of geometry and mathematical analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere. · La prima prova in itinere si svolge a metà del corso in date concordate con gli studenti che frequentano e prevede lo svolgimento di esercizi sui seguenti argomenti: numeri complessi, Serie di Laurent e Singolarità, Teoria dei residui · La seconda prova in itinere, che si tiene nella fase finale del corso, verte sulla risoluzione esericizi del tipo: integrali attraverso il calcolo dei residui, la trasformata di Laplace, applicazioni al Problema di Cauchy, Serie di Fourier. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova di esame durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. Tale prova scritta riguarda lo svolgimento di esercizi della tipologia descritta nelle due prove in itinere (vedi sopra). Lesame si intende superato se il punteggio medio degli esami in itinere o il voto conseguito allo scritto è pari o superiore a 18/30. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili alla pagina Moodle del corso.

Assessment

During the course there are two written tests. · The first test is in the middle of the course on dates agreed with the students attending and involves exercises on the following topics: complex numbers, Laurent series and Singularity, Residue theory · The second test, which is in the final part of the course, focuses on solving the exerices of the type: integrals through the calculation of the residuals, the Laplace transform, applications to the Cauchy problem, Fourier series. To each test is assigned an evaluation from 0 to 30. Student who does not take the two exams during the course can take the exam during the exam sessions scheduled by the Department of Engineering. This written test concerns exercises of the type described in the two tests in progress (see above). The exam is considered passed if the score of the exams written is equal or superior to 18/30. More details on the exams can be found on the Moodle page of the course.

Programma del Corso

Numeri complessi: Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell'argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà, derivazione termine a termine. Funzioni analitiche: Funzioni Olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Classicazione delle singolarità isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Integrazione: Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili. Residui: Teorema dei residui. Calcolo dei residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici. Trasformata di Laplace. Definizione e dominio della trasformata di Laplace. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Antitrasformata Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari. Serie di Fourier Generalita sui segnali. Segnali periodici Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia. Trasformata di Fourier: Definizione di trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata di Fourier. Antitrasformata.

Course Syllabus

Complex numbers: Algebraic, trigonometric, exponential form. Module and argument properties. De Moivre formulas and n-th roots. Elementary functions in the field of complex numbers: exponential, sine and cosine, hyperbolic sine and cosine, logarithm, power. Sequences and series in the field of complex numbers. Power series: convergence radius and properties, term termination derivation. Analytical functions: Holomorphic functions and Cauchy-Riemann conditions. Integrals of complex variable functions. Cauchy theorem and formulas. Taylor series. Laurent series. Zeros of analytic functions. Classification of singularities. Liouville theorem. Fundamental theorem of algebra. Residues: Residue theorem. Calculation of residues in the poles. Calculation of integrals with the residual method. Jordan lemmas. Simple fractions. Laplace transform. Definition and domain of the Laplace transform. Examples of Laplace transform. Properties of the Laplace transform. Inverse trasform, Laplace transform in solving ODE. Fourier series General information on signals. Periodic signals Trigonometric polynomials. Exponential and trigonometric Fourier series. Convergence in the punctual sense and in the sense of energy. Fourier transform: Definition of Fourier transform. Formal properties of the Fourier transform. Inverse.