Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali o vettoriali di una e più variabili reali, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle più semplici equazioni differenziali ordinarie. Si insisterà sulla comprensione e sull assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali (anche multipli, curvilinei e di superficie), serie, equazioni differenziali lineari, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.

Learning Goals

The course aims to provide students with the basic knowledge of differential and integral calculus for the real functions of one and more real variables, series theory and basic notions for the ordinary differential equations. We will insist on understanding the definitions and the main results, rather than on the proofs (some of which, moreover, will be carried out in detail). More space will be given to examples and exercises: at the end of the course, students should be able to do elementary calculations, limits, derivatives, function studies, integrals (even multiple, curvilinear and surface) , series, linear differential equations, and to possess with certainty, the main theoretical notions.

Metodi didattici

Lezione orale frontale (48 ore) ed esercitazioni con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria (48 ore)

Teaching Methods

Oral lessons ( 48 h) and exercises with applications to problems for engineering (48 h).

Prerequisiti

Per la prima parte del corso che si svolge nel primo semestre vengono richieste le nozioni di base di elementi di matematica di norma acquisiti nei corsi di scuola secondaria. Per la seconda parte del corso sono considerate fondamentali le nozioni di funzione continua, funzione derivabile, integrale di una funzione continua. Il corso si basa inoltre sulle nozioni del corso di Geometria; si ritengono fondamentali le nozioni base di algebra lineare, tra cui spazi vettoriali, basi, prodotti scalari, indipendenza lineare, ortogonalità, applicazioni lineari (matrici), autovettori e autovalori.

Prerequisites

For the first part of the course which takes place in the first semester, the basic notions of mathematical elements normally acquired in secondary school courses are required. For the second part of the course the notions of continuous function, derivable function, integral of a continuous function are considered fundamental. The course is also based on the notions of the Geometry course; the basic notions of linear algebra are considered fundamental, including vector spaces, bases, scalar products, linear independence, orthogonality, linear applications (matrices), eigenvectors and eigenvectors.

Verifiche dell'apprendimento

Durante lo svolgimento del corso sono previste quattro prove scritte in itinere. Le prime tre prove sono relative agli argomenti del primo modulo, la quarta relativa al secondo modulo. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che in ogni prova di verifica in itinere o nella prova finale scritta conseguono un punteggio pari o maggiore a 15/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. Per agevolarne lo svolgimento è data la possibilità agli studenti di sostenere la prova scritta in due parti (modulo A e modulo B) purché in appelli relativi alla stessa sessione desame. Il colloquio orale è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso e la valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dellesposizione con linguaggio scientifico. Lesame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili sulla piattaforma E-learning (Moodle) del corso.

Assessment

During the course, four tests are scheduled. The first three tests are related to the arguments of the first module, the fourth concerning the second module. Each test is assigned an evaluation of thirty. Students who receive a score equal to or higher than 15/30 in any test in progress or in the final written exam will be able to take the oral exam during the exam sessions established by the calendar. Students who do not take part in the in itinere tests can take the written test during the exam sessions scheduled by the Department of Engineering exams. In order to facilitate the development, students are given the opportunity to take the written test in two parts (form A and form B) provided that they are related to the same session under examination. The oral exam focuses on the topics covered during the course and the evaluation takes into account the acquired knowledge, the ability to apply the concepts studied and the exposure with scientific language. The exam is passed if the average score between written and oral part is equal to or greater than 18/30. More details can be found on the E-learning platform (Moodle) of the course.

Programma del Corso

Proprietà elementari dei Numeri Reali - Assioma di Dedekind - Valore assoluto Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali - La topologia della retta reale e teoremi relativi - Elementi di calcolo combinatorio. Generalità sui numeri complessi - Potenze e radici di un numero complesso - Equazioni in campo complesso. Definizioni - Limite di una successione - Teoremi fondamentali sui limiti - Operazioni con i limiti- Limiti di successioni monotone - Il numero e - Massimo e minimo limite - Successioni e topologia e teoremi relativi - Insiemi compatti - Serie numeriche - Criteri di convergenza per le serie numeriche - Cenni sulle successioni e serie complesse. Funzioni elementari: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche -Limiti di funzioni reali - Teoremi fondamentali sui limiti - Limiti fondamentali - Operazioni con i limiti - Funzioni continue e teoremi relativi - Uniforme continuità e teoremi relativi. Definizione di derivata e significato geometrico - Teoremi per il calcolo differenziale - Differenziale di una funzione - Derivate delle funzioni elementari - Operazioni con le derivate - Teoremi e applicazioni del calcolo differenziale per lo studio di una funzione - Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e conseguenze - Teoremi di De Hopital e applicazioni - Formula di Taylor e applicazioni - Cenni sulla serie di Taylor - Funzioni concave e convesse. Integrali indefiniti - Regole di integrazione - Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione - Integrazione delle funzioni razionali - Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali - L'integrale secondo Riemann - Condizione di integrabilità - Teoremi sulle funzioni integrabili - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Applicazioni degli integrali al calcolo di aree - Integrali generalizzati - Criteri di convergenza per integrali generalizzati. Elementi di topologia in Rn - funzioni di più variabili. derivate parziali - derivate direzionali differenziale e funzioni differenziabili teorema del differenziale totale funzioni composte teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz differenziale secondo matrice hessiana derivazione funzioni vettoriali matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili condizioni sufficienti per la determinazione dei punti di estremo relativo - estremi vincolati metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Curve regolari lunghezza di una curva ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. il problema di Cauchy - esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy - vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili, lineari, di Bernoulli - equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti. convergenza puntuale e convergenza uniforme - teorema di continuità teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata - serie di funzioni - convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale - teorema di continuità, di derivabilità e di integrabilità - serie di potenze serie di Taylor. integrali doppi domini normali integrale di funzione limitata su domini normali proprietà elementari dellintegrale doppio calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione cambiamento di variabili.

Course Syllabus

Real numbers Dedekind's axiom - Absolute value - Supremum and infimum of sets of reals numbers - Elements of combinatorial calculation. Complex numbers - Power and roots of complex numbers Complex equations - Limit concept Some theorems on sequences Operations with limits Monotone sequences - Some important limits - Infinite series - Convergence - Necessary condition for the convergence - Real functions of one real variable - Elementary functions and their graphs - Limit of functions Theorems about limits - Operations with limits - Fundamental limits - Continuity and discontinuity Operations with continuous functions and related theorems - uniform continuity. Definition of derivative and its geometrical meaning - Differentiation of sums, products and quotients - Theorems and applications of differential calculus for the study of a function - Rolle's, Cauchy's , Lagrange's theorems and its consequences - Taylor's formula - Convexity and concavity. Indefinite integrals - Integration by parts and by substitution Integration rational functions - Integration of some important functions. Riemann integrability - Integrability of the continuous functions - Properties of integrals Mean-value theorem - Integral function - Fundamental theorem of of the integral calculus - Integrals of discontinuous functions - Integrals of unbounded functions Testing the convergence of improper integrals. LIMITS AND CONTINUITY OF FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES TAKING VALUES IN R OR R^N. DIRECTIONAL DERIVATIVES. DIFFERENTIABLE FUNCTIONS. TANGENT SPACE. DIFFERENTIABILITY AND CONTINUITY. GRADIENT FORMULA. THE JACOBIAN MATRIX. THE CHAIN RULE. TOTAL DERIVATIVE. DIFFERENTIABILITY OF C^1 FUNCTIONS. IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN TWO OR MORE VARIABLES AND WITH ONE OR MORE CONSTRAINTS. HIGHER ORDER DERIVATIVES. SCHWARTZ THEOREM. MAX AND MIN, NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS. LAGRANGE METHOD AND MULTIPLIERS. CURVES AND CURVE LENGHT. TANGENT VECTOR. DINIS THEOREM LOCAL AND GLOBAL INVERTIBILITY BOUNDS CRITICAL POINTS LAGRANGE MULTIPLIER RULE. MAXIMA AND MINIMA IN BOUNDED REGIONS REGULAR CURVES ARC LENGTH LINE INTEGRAL DIFFERENTIAL FORMS. CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND. . INTEGRATION OF VECTOR FILEDS. VECTOR FIELDS AND DIFFERENTIAL FORMS. SURFACE INTEGRALS. GAUSS-GREEN THEOREM. STOKES THEOREM AND THE DIVERGENCE THEOREM. CONSERVATIVE AND IRROTATIONAL VECTOR FIELDS. CONDITION FOR CONSERVATIVITY. TECNIQUES OF INTEGRATION: POLAR COORDINATES, SPHERICAL COORDINATES, CYLINDRICAL COORDINATES. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. PEANO AND CAUCHY THEOREMS. LINEAR EQUATIONS AND SYSTEMS. VARIATION OF CONSTANTS FORMULA. LINEAR FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS. BERNOULLI EQUATION. L INEAR SYSTEMS AND LINEAR EQUATIONS OF THE NTH ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS. SEQUENCES FUNCTION FUNDAMENTAL RESULTS ON CONVERGENCE FUNCTIONS SERIES CONTINUITY, DERIVABILITY AND INTEGRABILITY OF SERIES BASIC RESULTS ON POWER SERIES TAYLOR SERIES. INTEGRAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES RIEMANNS INTEGRAL DOUBLE AND TRIPLE INTEGRALS CHANGE OF VARIABLES FORMULA FOR MULTIPLE INTEGRALS.