Obiettivi Formativi

Scopo del corso e' fornire la conoscenza del calcolo delle probabilità, delle variabili aleatorie e della statistica descrittiva. Vengono inoltre trattati esempi ed applicazione in vari ambiti.

Learning Goals

The aim of the course is to provide knowledge of the probability theory, random variables and descriptive statistics. Theory will be always followed by examples and applications in different fields.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Teaching Methods

Frontal lessons

Prerequisiti

Conoscenze di base di analisi matematica.

Prerequisites

The prerequisites consist in basic elements of Mathematical Analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Assessment

Oral examination

Programma del Corso

Fenomeni deterministici e fenomeni aleatori. Differenti definizioni di probabilità. Impostazione classica. Impostazione frequentista. Impostazione soggettiva. Pregi e difetti delle tre differenti impostazioni. Impostazione assiomatica. Elementi di Teoria astratta della misura. Anelli, algebre, σ-algebre e loro proprietà. Teoria assiomatica della Probabilità. Spazio campionario. Spazi campionari discreti. Spazi campionari continui. Eventi elementari. Eventi. Probabilità. Spazio di probabilità. Proprietà della probabilità. Principio di inclusione-esclusione di Poincarè. Costruzione di uno spazio di probabilità finito. Spazi equiprobabili. Campionamento da urne con rimpiazzo e senza rimpiazzo. Costruzione di uno spazio di probabilità numerabile. Esempi notevoli. Costruzione di uno spazio di probabilità continuo. Probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Applicazione ai test clinici. Indipendenza di eventi. Prove di Bernoulli. Variabili aleatorie. Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria e sue proprietà. Variabili aleatorie discrete. Densità discreta di una variabile aleatoria discreta. Variabili aleatorie assolutamente continue. Densità di una variabile aleatoria assolutamente continua. Alcune densità discrete di probabilità notevoli: uniforme discreta, binomiale, bernoulliana, Poisson, geometrica, ipergeometrica. Alcune densità continue di probabilità notevoli: uniforme continua, esponenziale, gaussiana standard, normale. Variabile aleatoria condizionata. Funzioni di variabile aleatoria. Valore atteso o media di una variabile aleatoria. Valore atteso di funzioni di variabile aleatoria. Varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria. Calcolo della media e della varianza di tutti gli esempi notevoli di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebychev. Legge dei tre σ. Standardizzazione di una variabile aleatoria. Approssimazione gaussiana della funzione di ripartizione binomiale. Variabili aleatorie indipendenti. Vettori aleatori. Funzione di ripartizione congiunta. Funzione di ripartizione marginale. Vettori aleatori discreti. Vettori aleatori assolutamente continui. Esempi notevoli di vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Funzioni di vettori aleatori discreti. Funzioni di vettori aleatori assolutamente continui. Valore atteso di funzioni di vettori aleatori. Covarianza e coefficiente di correlazione. Matrice di covarianza. Vettori gaussiani. Convergenza di variabili aleatorie. Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione. Convergenza in probabilità. Convergenza in media quadratica. Legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri. Metodo di integrazione Monte Carlo. Teorema centrale del limite. Statistica descrittiva. Distribuzioni di frequenza. Grafici delle distribuzioni di frequenza. Indici di posizione e di dispersione. Calcolo di media e varianza per dati raggruppati. Forma di una distribuzione. Correlazione fra variabili. Metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare. Regressione polinomiale. Metodi di linearizzazione. Popolazioni e campioni. Campionamento. Distribuzioni di campionamento. Distribuzione della media campionaria (varianza nota). Stima dei parametri. Test di ipotesi. Test χ2.

Course Syllabus

Deterministic phenomena and random phenomena. Different approach of probability: classical, frequentistic and subjective. Advantages and disadvantages of the three different approach. The axiomatic approch. Elements of abstract measurement theory. Rings, algebra, σ-algebra and their properties. Axiomatic theory of probability. Sample spaces. Discrete sample spaces. Continuous sample spaces. Elementary events. Events. Probability measure. Probability spaces. Probability properties. Poincaré's inclusion-exclusion principle. Finite probability spaces. Equiprobable spaces. Drowing balls from urns with and without replacement. Countable probability spaces. Examples. Continuous probability spaces. Conditional probability. Compound probability formula. Total probability theorem. Bayes theorem. Application to clinical tests. Independence of events. Bernoulli trials. Random variables. Distribution function of a random variable and its properties. Discrete random variables. Discrete density of a discrete random variable. Absolutely continuous random variables. Density of an absolutely continuous random variable. Examples of discrete densities: uniform discrete, binomial, bernoullian, poisson, geometric, hypergeometric. Examples of continuous densities: uniform continuous, exponential, gaussian, normal. Conditional random variable. Functions of random variable. Mean of a random variable. Mean of functions of random variable. Variance and standard deviation of a random variable. Calculation of the mean and variance of the examples of discrete and absolutely continuous random variables. Markov's inequality. Chebychev's inequality. 3σ law. Standardization of a random variable. Gaussian approximation of binomial distribution. Independent random variables. Random vectors. Joint distribution function. Marginal distribution function. Discrete random vectors. Absolutely continuous random vectors. Examples of discrete and absolutely continuous random vectors. Functions of discrete random vectors. Functions of absolutely continuous random vectors. Mean of functions of random vectors. Covariance and correlation coefficient. Covariance matrix. Gaussian vectors. Convergence of random variables. Sequences of random variables. Convergence in distribution. Convergence in probability. Convergence in mean. Weak law of large numbers. Strong law of large numbers. Monte Carlo integration method. Central limit theorem. Descriptive statistics. Frequency distributions. Frequency distribution graphs. Position and dispersion indices. Calculation of mean and variance for grouped data. Shape of a distribution. Correlation between variables. Minimal square method. Linear regression. Polynomial regression. Linearization methods. Estimation of the parameters. Hypothesis test. Test χ2.