Obiettivi Formativi

Formulazione matematica della meccanica classica. Approccio Lagrangiano e Hamiltoniano

Learning Goals

Mathematical formulation of classical mechanics. Lagrangian and Hamiltonian approaches.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and guided exercises.

Prerequisiti

Spazi vettoriali. Calcolo differenziale ed integrale. Equazioni differenziali ordinarie. Cinematica e dinamica dei sistemi a un numero finito di gradi di libertà.

Prerequisites

Vector spaces. Differential and integral calculus. Ordinary differential equations. Kinematics and Dynamics of systems with a finite number of degrees of freedom.

Verifiche dell'apprendimento

Stesura di una tesina su argomenti concordati col docente ed esame orale.

Assessment

Drafting of a term paper about suggested topics and oral exam.

Programma del Corso

FORMULAZIONE LAGRANGIANA DELLA MECCANICA. Sistemi olonomi. Vincoli olonomi. Spostamenti virtuali. Vincoli ideali. Principio dei lavori virtuali. Energia cinetica di un sistema olonomo. Relazione ed equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Invarianza delle equazioni di Lagrange. Integrali primi. Coordinate ignorabili e Lagrangiana ridotta. Potenziali generalizzati dipendenti dalla velocità. Applicazioni: pendolo sferico, bipendolo, trottola pesante, problema degli N corpi. FORMULAZIONE HAMILTONIANA DELLA MECCANICA Trasformazioni di Legendre. Funzione di Hamilton. Equazioni di Hamilton. Teorema di Liouville. Teorema della ricorrenza di Poincaré. PRINCIPI VARIAZIONALI Equazioni di Eulero-Lagrange per la stazionarietà di un funzionale.Principio variazionale di Hamilton: forma Lagrangiana e forma Hamiltoniana. Principio dell'azione stazionaria. FORMALISMO CANONICO Struttura simplettica dello spazio delle fasi. Matrici simpatetiche e hamiltoniane. Campi vettoriali hamiltoniani. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Condizione di Lie.Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche infinitesime e vicine all'identità. Simmetrie e integrali primi del moto. Teorema di Noether. Esempi e applicazioni. TEORIA DI HAMILTON-JACOBI L'equazione di Hamilton-Jacobi. Tecnica di separazione delle variabili. Sistemi integrabili con un grado di libertà: variabili di azione-angolo. Integrabilità per quadrature: teorema di Liouville. Tori invarianti: teorema di Arnold. Sistemi integrabili con più gradi di libertà: variabili di azione-angolo. Moti quasi-periodici. Variabili di azione-angolo per il problema di Keplero. Elementi di teoria canonica delle teoria canonica delle perturbazioni. Teorema di Kolmogorov-Arnold-Moser. SISTEMI HAMILTONIANI CON MATHEMATICA Casi di studio di sistemi hamiltoniani con il sistema Mathematica.

Course Syllabus

LAGRANGIAN FORMULATION OF MECHANICS Holonomic systems. Holonomic constraints. Virtual displacements. Ideal constraints. Principle of virtual works. Kinetic energy of holonomic systems. Symbolic relation and equation of dynamics. Lagrange equations. Invariance of Lagrange equations. First integrals. Ignorable coordinates and reduced Lagrangian. Generalized potentials depending on velocity. Applications: spherical pendulum, double pendulum, heavy top, N-body problem. HAMILTONIAN FORMULATION OF MECHANICS Legendre transformations. Hamilton function. Hamilton equations. Liouville teorie. Poincaré recurrence theorem.. VARIATIONAL PROBLEMS Euler-Lagrange equations for the stationarity of functionals. Hamilton variational principle: Lagrangian and Hamiltonian formulations. Principle of stationary action. CANONICAL FORMALISM Symplectic structure of phase space. Symplectic and Hamiltonian matrices. Hamiltonian vector fields. Canonical and completely canonical transformations. Poincaré-Cartan integral invariant. Lie condition.Generating functions of canonical transformations. Poisson brackets. Infinitesimal canonical transformations in a neighborhood of identity. Symmetries and first integrals. Noether theorem. Examples and applications. HAMILTON-JACOBI THEORY Hamilton-Jacobi equation. Separation of variables. Integrable systems with one degree of freedom: action-angle variables. Integrability: Liouville theorem. Invariant tori: Arnold theorem. Integrable systems with more than one degree of freedom: action-angle variabiles. Quasi-periodic motions. Action-angle variables for the Kepler problem. Elements of canonical theory of perturbations. Kolmogorov-Arnold-Moser theorem. HAMILTONIAN SYSTEMS WITH MATHEMATICA Case studies of hamiltonian systems with Mathematica.