Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio di alcune strutture algebriche astratte iniziato con il corso di Algebra 1, quali gli anelli e i campi. Si propone inoltre di fornire una conoscenza critica dei contenuti e dei metodi dell'algebra moderna.

Learning Goals

The course aims to provide a more detailed study of some abstract algebraic structures began with Algebra 1, as rings and fields and a critical knowledge of the content and methods of modern algebra.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Teaching Methods

Lectures

Prerequisiti

Si richiedono i contenuti del corso di Algebra I. The contents of the course Algebra 1 are required.

Prerequisites

The contents of the course Algebra 1 are required.

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta e orale

Assessment

Written and oral prove

Programma del Corso

Fattorizzazione in un monoide commutativo ad elementi regolari. Monoidi fattoriali. Anelli fattoriali. Anelli principali. Anelli euclidei. Anelli di interi algebrici. Anello degli interi di Gauss. Anelli noetheriani, anelli artiniani. Anello dei polinomi in un numero finito di indeterminate. Polinomi su un anello fattoriale. Lemma di Gauss. Teorema della base di Hilbert. Campi. Spazi vettoriali. Estensioni di campi. Grado di un'estensione. Estensioni finite. Estensioni semplici. Estensioni finitamente generate. Estensioni algebriche. Estensioni trascendenti. Chiusura algebrica di un sottocampo in un campo. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo. Campo di spezzamento di un polinomio.

Course Syllabus

Factorization in a commutative monoid with regular elements. U.F.D. monoids. U.F.D.s. Principal ideal rings. Euclidean Rings. Gaussian integers. Noetherian rings. Artinian rings. Polynomial rings in a finite numbers of variables. Gauss Lemma. Hilbert basis theorem. Fields. Vector spaces. Field. Finite extensions. Simple extensions. Finitely generated extensions. Algebric extensions. Trascendental extensions. Algebraic closure of a field. Algebraically closed fields. Field splitting of a polynomial.