Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è fornire conoscenze su: Spazi topologici. Spazi metrizzabili. Spazi primo e secondo numerabili. Funzioni continue tra spazi topologici. Operazioni su spazi topologici. Assiomi di separazione. Spazi connessi e connessi per archi. Spazi compatti. Compattificazioni.

Learning Goals

The aim of the course is to give knowledge of: Topological spaces. Metrizable spaces. First and secound countable spaces. Separation axioms. Connected spaces. Compact spaces and compactifications.

Metodi didattici

Lezioni frontali. Esercitazioni in aula. Seminari di approfondimento assegnati agli studenti.

Teaching Methods

Lessons. Classroom exercise. Students seminars.

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria degli insiemi e nozioni di base di analisi, queste ultime utili per motivare alcuni argomenti iniziali.

Prerequisites

Basic notions of set theory. Also basic notions of analysis are important to motivate concepts introduced in the beninning of the course.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Assessment

Oral examination

Programma del Corso

Spazi topologici. Esempi. Chiusura di un insieme. Basi e sistemi fondamentali di intorni. Costruzione di una topologia a partire da una base e da una base di intorni. Spazi metrizzabili. Assiomi di numerabilità. Spazi separabili. Funzioni continue. Sottospazi. La retta di Sorgenfrey come sottospazio di uno spazio linearmente ordinato. Assiomi di separazione. Spazi compatti. Prodotto di spazi topologici. Teorema di Hewitt-Marczewski-Pondiczery. Spazi quoziente. Esempi. Spazi connessi. Spazi connessi per archi. Spazi compatti. Caratterizzazioni della compattezza. Teorema di Kuratowski. Teorema di Tychonoff. Teorema di Metrizzazione di Alexandroff-Urysohn. Spazi compattificabili. Spazi localmente compatti.. Compattificazione di Alexandroff e di Stone-Cech.

Course Syllabus

Topological spaces. Examples. Closure of a set. Basis and neighborhoods fundamental system. Construction of a topology from basis or neighborhoods fundamental systems. Metrizable spaces. Countability axioms. Separable spaces. Cominuous mappings. Subspaces. Sorgenfrey line as subspace of a LOTS. Separation axioms. Product of topological spaces. Hewitt-Marczewski-Pondiczery's theorem. Quotient spaces. Examples. Connected spaces. Arcwise connected spaces. Compact spaces. Caracterization of compactness. Kuratowski's theorem. Tychonoff's theorem. Alexandroff-Urysohn metrization theorem. Compactificable spaces. Local compact space. Alexandroff and Stone-Cech compactifications.